פפירוס רינד

פפירוס רינד (באנגלית: Rhind Mathematical Papyrus (RMP)), הוא פפירוס מצרי המהווה אחד המקורות הקדומים ביותר העוסקים במתמטיקה בכלל ובמתמטיקה מצרית בפרט. הוא נכתב בתקופת הביניים השנייה של מצרים (סביבות 1650 לפנה"ס) בכתב היראטי, והוא נקנה בידי עורך-הדין וחובב העתיקות הסקוטי אלכסנדר הנרי רינד ב-1858 בעת סיורו בשוק בלוקסור שבמצרים. חשיבותה של המגילה לא הוכרה מיד. היה זה רק ב-1923, לאחר שהאגיפטולוג תומאס א. פיט פרסם תרגום מקיף ראשון שלה, שהיסטוריונים של המתמטיקה הבינו את מלוא חשיבותה. בשנת 1926 פרסם אוטו נויגבאואר בגטינגן את הספר Die Grundlagen der ägyptischen Bruchrechnung ("יסודות חשבון השברים המצרי" שניתח ופירש את הפפירוס וחשיבותו.

גלגוליו של הפפירוס

את תוכנו המתמטי של פפירוס רינד מקדימה פתיחה, בה מביא כותב הפפירוס, אדם בשם אחמס, פרטים רבים הן אודות מקורות הפפירוס ומטרותיו והן אודותיו הוא. אחמס כותב בהקדמתו כי הפפירוס נכתב בשנה ה-33 של אפופיס הראשון מלך החיקסוס, והוא למעשה מעתיק מחדש פפירוס קדום יותר מתקופת אמנמחת השלישי (המאה ה-19 לפנה"ס). על הצד האחורי של המגילה נמצא גם כתב מאוחר יותר, אך הוא שייך כנראה לממשיך דרכו של אפופיס - ח'מודי. אף על פי שהדבר אינו חד משמעי, ככל הנראה נחשף הפפירוס בחפירות ארכאולוגיות לא-מאושרות ברעמסאום, ועבר בין סוחרי עתיקות עד שהתגלגל לשוק בלוקסור.

בשנות ה-50 של המאה ה-19 יצא אלכסנדר הנרי רינד, שסבל מבעיית ריאות, למצרים כדי לשלב את צרכיו הרפואיים עם חיבתו לתרבות ועתיקות. במהלך מסעותיו לאיסוף חומרים ומידע לספרו על "תבאי - קבריה ושוכניהם" (שיצא לאור בשנת 1862) רכש רינד בין היתר את הפפירוס של אחמס, אך באותה עת איש מהמעורבים בעסקה לא הכיר בחשיבותו. רינד הלך לעולמו בשנת 1863 בגיל 30, אך טרם מותו העביר חלקים גדולים מאוספו, ובכלל אלו את פפירוס רינד ואת מגילת העור המתמטית המצרית, פפירוס מתמטי בעל מאפיינים דומים, למוזיאון הבריטי. פפירוס רינד השלם הוא למעשה מגילה בגובה 33 סנטימטרים הנפרשת לרוחבה לאורך יותר מחמישה מטרים. מרבית הפפירוס נמצא במוזיאון הבריטי בלונדון, אך חלקים ממנו נמצאים במוזיאון ברוקלין בניו יורק.

תוכן הפפירוס

פרט להקדמה של אחמס נהוג לחלק את פפירוס רינד לשלושה חלקים (ספרים, כפי שנקראו על ידי ראשוני החוקרים) - החלק הראשון כולל את טבלת ה-2/n וכן 40 שאלות בעלות אופי אריתמטי ואלגברי, החלק השני כולל 19 בעיות בגאומטריה של המישור והמרחב, והחלק השלישי כולל שוב 24 בעיות בעלות אופי אלגברי.

שברים מצריים

כדי להבין את תוכן הפפירוס יש לומר כמה מילים על הסימונים המתמטיים של המצרים הקדמונים. היות ששיטת הכתיבה המתמטית במצרים העתיקה לא הייתה מפותחת כפי שהיא היום, והרעיון של מונה ומכנה לא היה מוכר, יכולתם של המצרים לכתוב שברים הייתה מוגבלת למדי. השברים הוגבלו לשברים יסודיים, כלומר שברים עם 1 במונה, ויוצגו באמצעות שילובו של הסימן למילה "חלק" עם מה שכיום היה המכנה. בנוסף לכך היו קיימים סימנים מיוחדים לשברים ה"שימושיים" ${\tfrac {1}{2}}$ , ${\tfrac {2}{3}}$ ו- ${\tfrac {3}{4}}$ . מגבלות טכניות אלו של ייצוג שברים היקשו על המצרים לחשב שברים פשוטים נוספים, ועיקר התוכן של פפירוס רינד עוסק בפתרון בעיה זו.

ההקדמה

בנוסף לכל הפרטים שצוינו לעיל, בהם מזכיר אחמס את הפפירוס המקורי (שמעולם לא נמצא) ואת המלכים השונים תחתם בוצעה העבודה, משתף אותנו אחמס בשאיפותיו לגבי מטרות כתב היד, ובין היתר הוא מציין שלקורא יתאפשר "אומדן מדויק של חקירות הדברים והבנה של הכל - תעלומות ... וסודות".

טבלת ה-2/n

אף על פי שהיכולת לכתוב שברים עם 2 במונה לא הייתה בנמצא, אין משמעות הדבר שלא היה בהם צורך, ובחלקו הראשון של פפירוס רינד מובאת רשימה מלאה של כל השברים מהצורה ${\tfrac {2}{n}}$ עם $n$ אי-זוגי מ- $3$ (אף על פי שכאמור היה לשבר זה סימן ייחודי) ועד $101$ . חוקרי מתמטיקה מצרית הראו כי בכיתוב מודרני ניתן לבטא בפשטות את מרבית הזהויות בטבלה, אולם לא ניתן להתעלם מהאלגנטיות שבהצגת זהויות כגון ${\tfrac {2}{17}}={\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{51}}+{\tfrac {1}{68}}$ ו- ${\tfrac {2}{79}}={\tfrac {1}{60}}+{\tfrac {1}{237}}+{\tfrac {1}{316}}+{\tfrac {1}{790}}$ ללא שימוש בסימונים מתמטיים מודרניים. לאחר שטבלת ה-2/n הציגה כיצד שברים רבים עם 2 במונה ניתנים להצגה כשברי יחידה, מביא אחמס טבלה נוספת, בה הוא מדגים כיצד ניתן להשתמש בשברים הפשוטים (שברי יחידה ושני השברים בעלי הסימון הייחודי) כדי ליצור שברים שבייצוג מודרני היו עם 10 במכנה. כך למשל מובאת בטבלה הזהות ${\tfrac {7}{10}}={\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{30}}$ .

השאלות

ספר I

בשאלות 1-6 על הקורא לחלק מספר משתנה של ככרות לחם בין 10 אנשים.
בשאלות 7-20 על הקורא להכפיל את הביטויים $1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}$ ו- $1+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {2}{3}}$ בביטויים שונים.
בשאלות 21-23 על הקורא למצוא מספר חסר להשלמת תרגיל חיבור, או בייצוג מודרני יותר - לבצע פעולת חיסור.
בשאלות 24-34 על הקורא לפתור תרגיל שבייצוג מודרני ייקראו משוואות ליניאריות. כך, למשל, שאלה 32 תתרגם למשוואה $x+{\tfrac {x}{3}}+{\tfrac {x}{4}}=2$ .
בשאלות 35-38 על הקורא לבצע חלוקות שונות של נפחים שונים (לפי יחידת המידה הקאט).
בשאלות 39-40 שוב מתבקש הקורא לחלק ככרות לחם בין מספר אנשים, אך באופן שונה.

ספר II

בשאלות 41-46 על הקורא למצוא את נפחם של אסמים בעלי בסיס מלבני ומעגלי. משאלות אלו ניתן להסיק כי למצרים הייתה הערכה של $\pi \approx {\tfrac {256}{81}}$ .
בשאלה 47 על הקורא להמיר יחידות של תוך שימוש בשיטת ספירה ייחודית - עינו של רע.
בשאלות 48-55 על הקורא לחשב מגוון שטחים, ובהם (בשאלה 48) את שטחו של עיגול.
בשאלות 56-60 על הקורא לחשב כמה אלמנטים הקשורים בשיפועים של פירמידות.

ספר III

בשאלה 61 על הקורא לכפול שברים, ובפרט ניתנת שיטה לחישוב המכפלה ${\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {1}{n}}$ , במה שייראה בכתיב מודרני כך: ${\tfrac {2}{3n}}={\tfrac {1}{2n}}+{\tfrac {1}{6n}}$ .
בשאלות 62-78 שוב מתבקש הקורא לפתור כמה בעיות בעלות אופי אלגברי.
בשאלות 79-84 על הקורא לפתור כמה בעיות מתקדמות יותר של סכימת שברים וטורים הנדסיים, חלקם תוך שימוש בשיטת הכיתוב של העין של רע.