פורטל:מתמטיקה/חידות קשות/4

מהי הספרה השמינית אחרי הנקודה בפיתוח העשרוני של המספר האי-רציונלי:

$({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})^{2008}$

פתרון

9. הסבר:

הביטוי $({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})$ שווה בערך 0.3. העלאתו בחזקת 2008 תתן מספר קטן מאד, שבו לפחות עשר הספרות מימין לנקודה הן אפס.

נסתכל על הביטוי

$({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})^{2008}+({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2008}$

בפיתוח על-פי הבינום של ניוטון, מתקבל

$\sum _{k=0}^{2008}{2008 \choose k}{\sqrt {3}}^{k}{\sqrt {2}}^{2008-k}+\sum _{k=0}^{2008}{2008 \choose k}{\sqrt {3}}^{k}{\sqrt {2}}^{2008-k}(-1^{2008-k})$ .

בסכום הימני, הרכיבים שסימנם שלילי הם אלה שבהם k אי-זוגי. מכאן שבסכום הכולל מתקזזים כל הרכיבים שבהם k אי-זוגי ונותרים רק רכיבים שבהם k הוא זוגי, שהם הרכיבים שבהם החזקה של ${\sqrt {2}}$ וגם של ${\sqrt {3}}$ היא זוגית. לכן הוא מורכב כולו ממספרים שלמים ובעצמו מספר שלם.

הביטוי המקורי $({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})^{2008}$ שווה ל

$({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})^{2008}+({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2008}-({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2008}$

וראינו שסכום שני האיברים הראשונים

$({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})^{2008}+({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2008}$

הוא מספר שלם, והאיבר השלישי

$({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2008}$ קרוב מאוד לאפס. לכן חיסור האיבר השלישי מסכום שני האיברים הראשונים ייתן מספר שקרוב מאוד למספר שלם, שבו לפחות עשר הספרות הראשונות מימין לנקודה העשרונית, ובפרט הספרה השמינית, הן כולן 9.