שיכור נמצא בנקודה 0 על ציר המספרים. בכל שנייה הוא צועד צעד בגודל יחידה אחת, ובכל צעד הוא צועד בהסתברות 0.5 ימינה, ובהסתברות 0.5 שמאלה. מהי ההסתברות שהשיכור ימצא בנקודה n (לכל n) אחרי t שניות? מהי ההסתברות שהשיכור ימצא בנקודה n (לכל n) כאשר t שואף לאינסוף?
פתרון
לאחר t צעדים השיכור אינו יכול לעבור מרחק הגדול מ- t ובנוסף קל לראות שלאחר מספר זוגי של צעדים הוא יהיה במרחק זוגי מהראשית, ולאחר מספר צעדים אי-זוגי הוא יהיה במרחק אי-זוגי מהראשית. מכאן שההסתברות למצוא את השיכור בנקודה n היא אפס אלא אם כן והזוגיות של n ושל t זהה. במקרה כזה, על מנת להגיע למרחק n, צריך השיכור לבצע צעדים ימינה, ו- צעדים שמאלה. מספר המסלולים הללו הוא: , ומכיוון שיש בסה"כ מסלולים באורך t, אזי ההסתברות להיות במרחק n מהראשית לאחר t צעדים הינו:
בגבול שבו t שואף לאין סוף ההסתברות להיות בכל מרחק היא זהה ושווה ל-0.
כעת השיכור שלנו נמצא בנקודה (0,0) במערכת צירים קרטזית. בכל שנייה הוא צועד צעד בגודל יחידה אחת, ובכל צעד הוא צועד בהסתברות 0.25 ימינה, בהסתברות 0.25 שמאלה, בהסתברות 0.25 למעלה ובהסתברות 0.25 למטה. מהי ההסתברות שהשיכור ימצא בנקודה (m,n) (לכל m ולכל n) אחרי t שניות? מהי ההסתברות שהשיכור ימצא בנקודה (m,n) (לכל m ולכל n) כאשר t שואף לאינסוף?
