פונקציית טריגמא

ייצוג צבע של פונקציית טריגמא, ψ₁(z) במישור המרוכב. האיור נוצר בשיטת צביעת התחום .

במתמטיקה, פונקציית הטריגמא, המסומנת ψ₁(z) או ψ⁽¹⁾(z), היא השנייה מבין פונקציות הפוליגמא, והיא מוגדרת על ידי

$\psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)$ .

מהגדרה זו עולה כי

$\psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)$

כאשר ψ(z) היא פונקציית הדיגמא. ניתן להגדיר את פונקציית הטריגמא גם כסכום הטור

$\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},$

מה שהופך את פונקציית הטריגמא למקרה מיוחד של פונקציית הזטה של הורביץ

$\psi _{1}(z)=\zeta (2,z)$

שתי הנוסחאות האחרונות תקפות רק כאשר 1 − z אינו מספר טבעי.

חישוב

כחלופה לייצוג לעיל, ניתן לייצג את פונקציית טריגמא בעזרת אינטגרל כפול

$\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,dy\,dx$

האינטגרציה על y נותנת

$\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx$

על ידי גזירת הפיתוח האסימפטוטי של פונקציית דיגמה ניתן לקבל את טור לורן הבא:

${\begin{aligned}\psi _{1}(z)&\sim {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!z}\left(\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}\\&={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+{\frac {1}{6z^{3}}}-{\frac {1}{30z^{5}}}+{\frac {1}{42z^{7}}}-{\frac {1}{30z^{9}}}+{\frac {5}{66z^{11}}}-{\frac {691}{2730z^{13}}}+{\frac {7}{6z^{15}}}\cdots \end{aligned}}$

כאשר B_n הוא מספר ברנולי ה- n, ובוחרים $B_{1}=1/2$.

נוסחאות נסיגה והשתקפות

פונקציית טריגמא מקיימת את נוסחת הנסיגה

$\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}$

ונוסחת ההשתקפות

$\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,$

מביטוי זה קל לראות בהצבת $z=1/2$ כי $\psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}$ .

ערכים מיוחדים

בערכים חיוביים חצי שלמים מתקבל

$\psi _{1}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(2k-1)^{2}}}.$

לפונקציית טריגמא הערכים המיוחדים הבאים:

${\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\\\psi _{1}(n)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{2}}}\end{aligned}}$

כאשר G מייצג קבוע קטלן ו- n הוא מספר שלם חיובי. אך יש אינסוף זוגות שורשים $z_{n}\,,{\overline {z_{n}}}$ עם חלק ממשי שלילי (${\mathrm {R} e}\,z<0$). כל זוג שורשים כזה מתקרב במהירות ל ${\mathrm {R} e}\,z_{n}=-n+1/2$, והחלק הדמיוני שלהם גדל לוגריתמית כפונקציה של n.

הופעה

פונקציית טריגמא מופיעה בנוסחת הסכום:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).$

ראו גם

• פונקציית גמא
• פונקציית דיגמא
• פונקציית פוליגמא
• קבוע קטלן

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית טריגמא בוויקישיתוף

• פונקציית טריגמא, באתר MathWorld (באנגלית)