פונקציה רציונלית

פונקציה רציונלית היא פונקציה שניתנת להבעה כמנת פולינומים.

קבוצת הפונקציות הרציונליות היא שדה השברים של חוג הפולינומים.

הגדרה פורמלית

נאמר שפונקציה $f(x)$ רציונלית אם היא מהצורה $f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$ כאשר $P(x)$ ו- $Q(x)$ הן פולינומים כך של- $Q(x)$ יש לפחות מקדם אחד שונה מ- $0$ . הפונקציה $f$ מוגדרת בכל נקודה בה $Q$ שונה מאפס.

פונקציה רציונלית היא מקרה פרטי של העתקה רציונלית.

דוגמאות

[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה $f(x)={\frac {3x^{5}+6x-1}{2x-9}}$ היא פונקציה רציונלית כי $3x^{5}+6x-1$ ו־ $2x-9$ הם פולינומים לעומת זאת $g(x)=cos(x)$ אינה פונקציה רציונלית, משום שלא ניתן לבטא אותה כמנת פולינומים. גם הפונקציה $h(x)={\sqrt {x}}+2{\sqrt[{4}]{x}}$ איננה רציונלית כי המעריכים של $x$ אינם שלמים.

נגזרת של פונקציה רציונלית

[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל פונקציה רציונלית היא רציפה בכל תחום הגדרתה, היות שכל פולינום מגדיר פונקציה רציפה, ומנת פונקציות רציפות אף היא רציפה. תהיינה $f(x),g(x)$ גזירות כאשר $g(x)\neq 0$ . את הנגזרת של הפונקציה הרציונלית ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ מקבלים על די הנוסחה ${\textstyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\tfrac {f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g(x)^{2}}}}$ .

אסימפטוטות

[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערך מורחב – אסימפטוטה

בניגוד לפונקציה ללא מנה כמו פונקציית פולינום, או פונקציית שורש ללא מנה, בפונקציות עם מנה ייתכנו אסימפטוטות, שהן ישרים אליהן הפונקציה שואפת להגיע, כאשר $x\to \infty$ או $x\to -\infty$ .

קישורים חיצוניים

[עריכת קוד מקור | עריכה]

מדיה וקבצים בנושא פונקציה רציונלית בוויקישיתוף

פונקציה רציונלית, באתר MathWorld (באנגלית)

מרחבי פונקציות והכללותיהן

היפר-פונקציות

C^{-\infty }

פונקציות מוכללות מתונות

C_{c}^{-\infty }

L_{loc}^{1,-s}

L^{1,-s}

L_{c}^{1,-s}

L_{loc}^{p,-s}

L^{p,-s}

L_{c}^{p,-s}

מידות^[1]

מידות^[1] נתמכות קומפקטית

L_{loc}^{1}

L^{1}

L_{c}^{1}

L_{loc}^{p}

L_{}^{p}

L_{c}^{p}

L_{loc}^{1,s}

L^{1,s}

L_{c}^{1,s}

L_{loc}^{p,s}

L^{p,s}

L_{c}^{p,s}

L_{loc}^{2,s}

L_{loc}^{2}

L_{loc}^{2,-s}

L^{2,s}

L^{2,-s}

L^{2}

L_{c}^{2,s}

L_{c}^{1}

L_{c}^{1,-s}

C_{c}^{-s}

C^{-s}

L_{c}^{\infty ,-s}

L^{\infty ,-s}

L_{loc}^{\infty ,-s}

L_{c}^{q,-s}

L^{q,-s}

L_{loc}^{q,-s}

C_{c}

C

L_{c}^{\infty }

L_{}^{\infty }

L_{loc}^{\infty }

L_{c}^{q}

L_{}^{q}

L_{loc}^{q}

C_{c}^{s}

C^{s}

L_{c}^{\infty ,s}

L^{\infty ,s}

L_{loc}^{\infty ,s}

L_{c}^{q,s}

L^{q,s}

s>0

L_{loc}^{q,s}

C_{c}^{\infty }

פונקציות שוורץ

פונקציות מתונות

C^{\infty }

פונקציות נאש

פונקציות אנליטיות ממשיות

מקרא

	מרחב פונקציות על אובייקט גאומטרי (למשל מרחב אוקלידי).^[2]
	מרחב הנתון על ידי תכונה מקומית של פונקציה.^[3]

	מרחב הילברט
	מרחב בנך (שאינו מרחב הילברט)
	מרחב פרשה (שאינו מרחב בנך)
	מרחב דואלי לפרשה (שאינו מרחב בנך)
	מרחב גרעיני

שיכון טבעי. מרחב המקור הוא תת-מרחב של מרחב היעד.^[4] כל החצים השחורים מהווים יחד דיאגרמה קומוטטיבית.

דואליות דו צדדית. שני המרחבים דואליים זה לזה.

דואליות. מרחב היעד דואלי למרחב המקור. בכל המיקרים הדואליות נתונה על ידי אינטגרציה ובהתאם קומפטבילית עם השיכונים.

התמרת פוריה דו צדדית. ההתמרה מעבירה את כל אחד מהמרחבים לשני.^[5]

התמרת פוריה. ההתמרה מעבירה את מרחב המקור למרחב היעד.^[5]

$C$	מרחב הפונקציות הרציפות. מוגדר עבור כל מרחב טופולוגי.
$C^{t}$	מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות $t$ פעמים.^[6] מוגדר עבור יריעות חלקות.
$L^{r}$	מרחב L^r. פונקציות שחזקתם ה - $r$ אינטגרבילית. האובייקט הגאומטרי נדרש להיות מרחב מידה.
$L^{r,t}$	מרחב סובולב. פונקציות שנגזרתם ה - $t$ נמצאת במרחב L^r.^[6] האובייקט הגאומטרי נדרש להיות מרחב אוקלידי או אובייקט דומה.
${\mathfrak {X}}_{c}$	פונקציות נתמכות קומפקטית. עבור מרחב פונקציות ${\mathfrak {X}}$ הסימון ${\mathfrak {X}}_{c}$ מתייחס לאוסף כל הפונקציות ב - ${\mathfrak {X}}$ שהתומך שלהם קומפקטי.^[7]
${\mathfrak {X}}_{loc}$	תכונה מקומית. עבור מרחב פונקציות ${\mathfrak {X}}$ הסימון ${\mathfrak {X}}_{c}$ מתייחס לאוסף כל הפונקציות שבאופן מקומי מקיימות את התכונה המגדירה של ${\mathfrak {X}}$ .^[7]

$s$	מספר ממשי חיובי
$p,q$	מספרים ממשיים המקיימים: $1<p<2<q<\infty$ ו - ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=2$

פונקציות אנליטיות רב ערכיות

^ ¹ ² על מנת לראות במרחב המדות במידות כמרחב פונצקציות יש לבחור מידה על האובייקט הגאומטרי.
^ ובאופן כללי יותר האובייקט הגיאמטרי יכול להיות: מרחב טופולוגי, יריעה חלקה, יריעה אנליטית (ממשית או מרוכבת), יריעה אלגברית, מרחב אוקלידי, מרחב l, מרחב מידה ועוד. חלק מהמרחבים מוגדרים רק עבור חלק מהאובייקטים הגאומטריים. רוב המרחבים דורשים לפחות מבנה של יריעה חלקה על האובייקט הגאומטרי.
^ המקומיות היא על פי הטופולוגיה על האובייקט הגאומטרי המתאים. לדוגמה, פונקציות שוורץ מוגדרות על יריעות אלגבריות ממשיות (או באופן כללי יותר יריעות נאש), לכן המקומיות היא על פי הטופולוגיה של זריצקי (או הטופולוגה המוגבלת על יריעות נאש).
^ השיכון מוגדר רק כאשר שני המרחבים מוגדרים. לדוגמה מרחב הפולינומים מוגדר עבור יריעה אלגברית ומרחב הפונקציות החלקות מוגדר עבור יריעה חלקה. מרחב הפולינומים מהווה תת-מרחב במרחב הפונקציות החלקות אם עבור יריעה אלגברית ממשית חלקה.
^ ¹ ² רלוונטי רק כאשר האובייקט הגאומטרי הוא חבורה אבלית (בדרך כלל כאשר הוא מרחב אוקלידי)
^ ¹ ² ניתן להגדיר מרחב זה עבור $t$ ממשי כלשהו, אולם אם $t$ אינו מספר טבעי אז ההגדרה מורכבת מעט יותר.
^ ¹ ² המרחבים ${\mathfrak {X}}_{loc}$ ו - ${\mathfrak {X}}_{c}$ יכולים להית מוגדרים גם על אובייקטים שעליהם ${\mathfrak {X}}$ לא מוגדר. די בכך שהאובייקטים יראו באופן מקומי כמו אלה שעליהם ${\mathfrak {X}}$ מוגדר. לדוגמה $L_{c}^{r,t}$ מוגדר עבור כל יריעה חלקה.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.