פונקציה אלגברית

במתמטיקה, פונקציה אלגברית היא פונקציה שניתן להגדיר כשורש של משוואה פולינומית. לעיתים קרובות למדי פונקציות אלגבריות הן ביטויים אלגבריים המשתמשים במספר סופי של מונחים, הכוללים רק את הפעולות האלגבריות חיבור, חיסור, כפל, חילוק והעלאה לחזקת שבר. דוגמאות לפונקציות כאלה הן:

$f(x)=1/x$
$f(x)={\sqrt {x}}$
$f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}$

עם זאת, לא ניתן לבטא כמה פונקציות אלגבריות על ידי ביטויים סופיים כאלה (זהו משפט אבל-רופיני). זה המקרה, למשל, עבור רדיקל ברינג, שהוא הפונקציה המוגדרת במרומז על ידי

$f(x)^{5}+f(x)+x=0$ .

במונחים מדויקים יותר, פונקציה אלגברית של תואר n במשתנה אחד x היא פונקציה $y=f(x),$ שהיא רציפה בתחום שלה ומקיימת פולינום משוואה

$a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0$ כאשר המקדמים $a i (x)$ הם פונקציות פולינומיות של x, עם מקדמים שלמים. ניתן להראות שאותה מחלקה של פונקציות מתקבלת אם מקבלים מספרים אלגבריים עבור המקדמים של ה- $a i (x)$ . אם מספרים טרנסצנדנטליים מתרחשים במקדמים, הפונקציה היא, באופן כללי, לא אלגברית, אבל היא אלגברית על פני השדה שנוצר על ידי מקדמים אלה.

הערך של פונקציה אלגברית במספר רציונלי, ובאופן כללי יותר, במספר אלגברי הוא תמיד מספר אלגברי. לפעמים, נחשבים מקדמים $a i (x)$ שהם פולינום מעל טבעת R, ואז מדברים על "פונקציות אלגבריות מעל R".

פונקציה שאינה אלגברית נקראת פונקציה טרנסנדנטלית, כפי שהיא למשל המקרה של $\exp x,\tan x,\ln x,\Gamma (x)$ . הרכב של פונקציות טרנסצנדנטליות יכול לתת פונקציה אלגברית: $f(x)=\cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}$ .

מכיוון שלמשוואה פולינומית בדרגה n יש עד n שורשים (ובדיוק n שורשים מעל שדה סגור אלגברית, כמו המספרים המרוכבים), משוואת פולינום אינה מגדירה באופן מרומז פונקציה בודדת, אלא עד n פונקציות, הנקראות לפעמים גם ענפים. קחו למשל את המשוואה של מעגל היחידה: $y^{2}+x^{2}=1.\,$ , זה קובע את y, אלא רק עד סימן כולל; בהתאם, יש לו שני ענפים: $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,$ . פונקציה אלגברית ב-m משתנים מוגדרת באופן דומה כפונקציה $y=f(x_{1},\dots ,x_{m})$ אשר פותר משוואה פולינומית בm + 1 משתנים :

p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.

בדרך כלל ההנחה היא ש-p צריך להיות פולינום בלתי ניתן לצמצום. קיומה של פונקציה אלגברית מובטח אז על ידי משפט הפונקציות המרומזות.

באופן פורמלי, פונקציה אלגברית ב-m משתנים מעל השדה K היא מרכיב של הסגירה האלגברית של שדה הפונקציות הרציונליות K(x1, ..., xm).

לקריאה נוספת

בן ציון קון וסמי זעפרני, חדו"א 1, הוצאת בק ספרי לימוד,

קישורים חיצוניים

פונקציות אלגבראיות, דף שער בספרייה הלאומית

[מידות-1] ¹ ² על מנת לראות במרחב המדות במידות כמרחב פונצקציות יש לבחור מידה על האובייקט הגאומטרי.

[2] ובאופן כללי יותר האובייקט הגיאמטרי יכול להיות: מרחב טופולוגי, יריעה חלקה, יריעה אנליטית (ממשית או מרוכבת), יריעה אלגברית, מרחב אוקלידי, מרחב l, מרחב מידה ועוד. חלק מהמרחבים מוגדרים רק עבור חלק מהאובייקטים הגאומטריים. רוב המרחבים דורשים לפחות מבנה של יריעה חלקה על האובייקט הגאומטרי.

[3] המקומיות היא על פי הטופולוגיה על האובייקט הגאומטרי המתאים. לדוגמה, פונקציות שוורץ מוגדרות על יריעות אלגבריות ממשיות (או באופן כללי יותר יריעות נאש), לכן המקומיות היא על פי הטופולוגיה של זריצקי (או הטופולוגה המוגבלת על יריעות נאש).

[4] השיכון מוגדר רק כאשר שני המרחבים מוגדרים. לדוגמה מרחב הפולינומים מוגדר עבור יריעה אלגברית ומרחב הפונקציות החלקות מוגדר עבור יריעה חלקה. מרחב הפולינומים מהווה תת-מרחב במרחב הפונקציות החלקות אם עבור יריעה אלגברית ממשית חלקה.

[פור-5] ¹ ² רלוונטי רק כאשר האובייקט הגאומטרי הוא חבורה אבלית (בדרך כלל כאשר הוא מרחב אוקלידי)

[נגזרות-6] ¹ ² ניתן להגדיר מרחב זה עבור $t$ ממשי כלשהו, אולם אם $t$ אינו מספר טבעי אז ההגדרה מורכבת מעט יותר.

[לוקלי_קומפקטי-7] ¹ ² המרחבים ${\mathfrak {X}}_{loc}$ ו - ${\mathfrak {X}}_{c}$ יכולים להית מוגדרים גם על אובייקטים שעליהם ${\mathfrak {X}}$ לא מוגדר. די בכך שהאובייקטים יראו באופן מקומי כמו אלה שעליהם ${\mathfrak {X}}$ מוגדר. לדוגמה $L_{c}^{r,t}$ מוגדר עבור כל יריעה חלקה.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]