על שיווי משקל של שטחים מישוריים

על שיווי משקל של שטחים מישוריים
Περὶ ἐπιπέδων ἱσορροπιῶν

מידע כללי
מאת	ארכימדס
שפת המקור	יוונית עתיקה
סוגה	מסה
נושא	מרכז מסה, מנוף
הוצאה
תאריך הוצאה	המאה ה־3 לפנה״ס

על שיווי משקל של שטחים מישוריים (ביוונית: Περὶ ἐπιπέδων ἱσορροπιῶν) הוא חיבור בשני חלקים שנכתב על ידי ארכימדס. החלק הראשון מבסס את עקרון המנוף, וממקם את מרכזי הכובד של המשולש והטרפז. תיאורו של ארכימדס את מרכז הכובד, שהוא אחד המושגים היסודיים של המכניקה, הוא התיאור המוקדם ביותר של המושג המצוי בספרות המדעית. לפי פאפוס מאלכסנדריה, עבודתו של ארכימדס על מנופים גרמה לו לקבוע: "תנו לי נקודת משען, ואניף את העולם". החלק השני, שמכיל 10 טענות, חוקר את מרכזי הכובד של מקטעים פרבוליים.

מבנה הטקסט

החלק הראשון מכיל 15 טענות ושבעה פוסטולטים. בטענה שש ארכימדס מציג את עקרון המנוף, וקובע כי במנופים "משקולות נמצאות בשיווי משקל במרחקים הופכיים למשקלים שלהן". בטענות עשר וארבע עשרה בהתאמה, ארכימדס ממקם את מרכזי הכובד של המקבילית והמשולש. בנוסף, בטענה חמש עשרה הוא ממקם את מרכז הכובד של הטרפז. החלק השני, שמכיל 10 טענות, חוקר מרכזי כובד של מקטעים פרבוליים באופן בלעדי, ומתבסס על חלק מהטענות המופיעות בחיבורו תרבוע הפרבולה.

טענות בולטות

טענה 14 (חלק הראשון) - מרכז הכובד של כל משולש נמצא בנקודת החיתוך של הקווים שנמתחים בין כלי שני קודקודים לאמצעי הצלעות הנגדיות להם.

כלומר מרכז הכובד של משולש הוא בנקודת מפגש התיכונים של המשולש.

טענה 15 (חלק ראשון) - יהיו AD,BC שתי הצלעות המקבילות של הטרפז ABCD, כך ש-AD היא הקטנה יותר, ואם E ו-F הן נקודות האמצע של AD ו-BC בהתאמה, אז מרכז הכובד של הטרפז הוא בנקודה G על EF שמקיימת: $GE:GF=(2BC+AD):(2AD+BC)$.

טענה 8 (חלק שני) - יהי AO הקוטר של המקטע הפרבולי, ו-G מרכז הכובד שלו, אז: $AG={\frac {3}{2}}GO$.

כלומר ארכימדס מוכיח שמרכז הכובד של מקטע פרבולי נח על הקוטר של המקטע הפרבולי, ומחלק אותו ביחס של 2:3.

טענה 10 (חלק שני) - יהי PP'B'B חלק הפרבולה המוקצה על ידי שני מיתרים מקבילים PP' ו-BB' , אשר נחצים לקטעים שווים בנקודות N ו-O בהתאמה על ידי קוטר המקטע ANO (כאשר N קרוב יותר מ-O ל-A, קודקוד המקטע), ואם NO מחולק לחמישה קטעים שווים כך ש-LM הוא הקטע האמצעי (כאשר L קרוב יותר מ-M ל-N), אז, אם G היא נקודה על LM כך ש-:$LG:GM=BO^{2}\cdot (2PN+BO):PN^{2}\cdot (2BO+PN)$, אז G היא מרכז הכובד של השטח המישורי PP'B'B .

התפקיד של טענות 8 ו-10 בחלק השני אנלוגי לתפקיד שממלאות טענות 14 ו-15 בחלק הראשון; בדיוק כשם שהטרפז ניתן לקבלה על ידי "חיסור" של שני משולשים שאחד מוכל בשני, כך גם חלק המקטע הפרבולי שמוגדר בטענה האחרונה בחלק השני ניתן לקבלה כ-"חיסור" של שני מקטעים פרבוליים.

המשפט המרכזי

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

קישורים חיצוניים

• On the equilibrium of planes