על המדידה של המעגל

על המדידה של המעגל (ביוונית: Κύκλου μέτρησις, Kuklou metrēsis) הוא חיבור מאת ארכימדס. החיבור, שמכיל שלוש טענות, הוא רק חלק קטן שנותר ממה שהיה עבודה ארוכה הרבה יותר.

הטענות

טענה אחת

המעגל והמשולש שווים בשטחם.

טענה אחת קובעת:

השטח של כל מעגל שווה לשטחו של משולש ישר-זווית אשר בו אחת הצלעות הסמוכות לזווית הישרה שווה לרדיוס, והאחרת להיקף, של המעגל

כל מעגל עם היקף c ורדיוס r שווה בשטחו למשולש ישר-זווית עם ניצבים c ו-r. ארכימדס מוכיח את הטענה הזאת בעזרת שיטת המיצוי.

טענה שנייה

טענה שתיים קובעת:

היחס בין שטח המעגל לשטח הריבוע הנבנה על קוטרו הוא כמו 11 ל-14.

טענה זו נובעת מן הטענה השלישית.

טענה שלישית

דוגמאות לאיך ארכימדס חישב את פאי. ארכימדס השתמש במצולע בן 96 צלעות כדי למצוא את הקירוב שלו.

טענה שלוש קובעת:

היחס בין היקפו של כל מעגל לקוטרו גדול מ-$3{\tfrac {10}{71}}$ אבל קטן מ-$3{\tfrac {1}{7}}$.

זה מקרב את מה שכעת אנו מכנים הקבוע המתמטי π. הוא מצא את החסמים האלה על ערכו של $\pi$ על ידי חסימה במעגל וחסימת המעגל עם שני מצולעים משוכללים דומים בני 96 צלעות.

קירובים לשורשים ריבועיים

טענה זו גם מכילה קירובים מדויקים לשורש הריבועי של 3 (אחד גדול יותר ואחד קטן יותר) ומספרים גדולים אחרים שאינם ריבועים מושלמים. אף על פי כן, ארכימדס לא נותן הסבר כיצד הוא מצא את המספרים הללו. הוא נותן את החסם העליון והתחתון ל-3√ כ-: ${\tfrac {1351}{780}}>{\sqrt {3}}>{\tfrac {265}{153}}\,$.

האומדן המצוין הזה ל-3√ מציע שארכימדס חזה את שיטת השברים המשולבים.