נוסחת ברטשניידר

בגאומטריה אוקלידית, נוסחת ברטשניידר היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע כלשהו על בסיס צלעותיו וזוויותיו, והיא

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}$

$={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.$

כאשר a,b,c ו-d הם צלעות המרובע, s היא מחצית ההיקף ו-α ו-γ הן זוויות נגדיות. הנוסחה נקראת על שם קרל אנטון ברטשניידר, אשר גילה אותה בשנת 1842. נוסחת ברטשניידר היא הכללה של נוסחת ברהמגופטה, שמתבססת על נוסחת הרון.

הוכחה

סרטוט להוכחה.

נסמן באות K את שטח המרובע, אז:

${\begin{aligned}K&={\text{area of }}\triangle ADB+{\text{area of }}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}$

מכאן

$4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,$

על פי משפט הקוסינוסים:

$a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,\,$

אז שתי הצלעות שוות לאורך הצלע BD בריבוע, אז ניתן לרשום את הנוסחה כ:

${\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .\,$

עכשיו נחבר את הנוסחה הזו לנוסחה שלמעלה ונקבל:

${\begin{aligned}4K^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}$

מכאן נשתמש באותה הדרך שבה הוכחה נוסחת ברהמגופטה, נקבל כי:

$16K^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).$

נציב את מחצית ההיקף בנוסחה בתור:

$s={\frac {a+b+c+d}{2}},$

ונקבל כי

$16K^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)$

נחלק ב-16 ונוציא שורש ונקבל את נוסחת ברטשניידר.

קישורים חיצוניים

• נוסחת ברטשניידר, באתר MathWorld (באנגלית)