בגאומטריה אוקלידית , נוסחת בְּרַהמָגוּפְּטָה , היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע בר חסימה , על בסיס צלעותיו. פותחה על ידי המתמטיקאי ההודי בראהמגופטה .
שטח K של מרובע בר חסימה , שאורך צלעותיו הם a ,b ,c ,d , ו-s הוא מחצית ההיקף של הצורה (
s
=
a
+
b
+
c
+
d
2
.
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}
K
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
הנוסחה היא הכללה לנוסחת הרון למשולשים, וניתן להסתכל עליה כך כאשר אורך אחת הצלעות הוא 0 . ניתן לרשום את הנוסחה גם מהצורה:
K
=
1
4
(
−
a
+
b
+
c
+
d
)
(
a
−
b
+
c
+
d
)
(
a
+
b
−
c
+
d
)
(
a
+
b
+
c
−
d
)
.
{\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}.}
K
=
(
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
)
2
+
8
a
b
c
d
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
+
d
4
)
4
⋅
{\displaystyle K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot }
דיאגרמה להוכחה אנחנו נביא כאן הוכחה שבה השתמשנו באלגברה ובטריגונומטריה , והוכחה זה היא שונה מהוכחתו המקורית של ברהמגופטה.
מרובע חסום ABCD ששטחו K הוא סכום השטחים של המשלושים ADB△ ו-BDC△,
K
=
1
2
p
q
sin
A
+
1
2
r
s
sin
C
.
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.}
מכיוון שמרובע ABCD הוא בר חסימה, אז DAB = 180° − ∠DCB ∠, מכאן sin A = sin C ,אז ניתן לרשום את השטח כ-
K
=
1
2
p
q
sin
A
+
1
2
r
s
sin
A
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}
ומכאן:
K
2
=
1
4
(
p
q
+
r
s
)
2
sin
2
A
{\displaystyle K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A}
4
K
2
=
(
p
q
+
r
s
)
2
(
1
−
cos
2
A
)
=
(
p
q
+
r
s
)
2
−
(
p
q
+
r
s
)
2
cos
2
A
.
{\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)=(pq+rs)^{2}-(pq+rs)^{2}\cos ^{2}A.\,}
ניתן לפתור עבור צלע DB במשולש ADB△ על ידי משפט הקוסינוסים , אז
p
2
+
q
2
−
2
p
q
cos
A
=
r
2
+
s
2
−
2
r
s
cos
C
.
{\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,}
ובגלל ש-cos C = −cos A (מכיוון שהם זוויות שמשלימות ל-360), ומכאן
2
(
p
q
+
r
s
)
cos
A
=
p
2
+
q
2
−
r
2
−
s
2
.
{\displaystyle 2(pq+rs)\cos A=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,}
אז
4
K
2
=
(
p
q
+
r
s
)
2
−
1
4
(
p
2
+
q
2
−
r
2
−
s
2
)
2
{\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}
16
K
2
=
4
(
p
q
+
r
s
)
2
−
(
p
2
+
q
2
−
r
2
−
s
2
)
2
.
{\displaystyle 16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.}
ניתן לפרק את הביטוי על ידי נוסחת כפל מקוצר, אז
[
2
(
p
q
+
r
s
)
−
p
2
−
q
2
+
r
2
+
s
2
]
[
2
(
p
q
+
r
s
)
+
p
2
+
q
2
−
r
2
−
s
2
]
{\displaystyle [2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]\,}
ולאחר מכנה משותף,
=
[
(
r
+
s
)
2
−
(
p
−
q
)
2
]
[
(
p
+
q
)
2
−
(
r
−
s
)
2
]
{\displaystyle =[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]\,}
=
(
q
+
r
+
s
−
p
)
(
p
+
r
+
s
−
q
)
(
p
+
q
+
s
−
r
)
(
p
+
q
+
r
−
s
)
.
{\displaystyle =(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).\,}
ועל ידי הצבה של מחצית ההיקף S, אז נקבל
16
K
2
=
16
(
S
−
p
)
(
S
−
q
)
(
S
−
r
)
(
S
−
s
)
.
{\displaystyle 16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).\,}
נוציא שורש ונחלק ב-16,ונקבל את הנוסחה:
K
=
(
S
−
p
)
(
S
−
q
)
(
S
−
r
)
(
S
−
s
)
.
{\displaystyle K={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.}
ניתן להכליל את הנוסחה למרובע שאינו בר חסימה,
K
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
θ
{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}
כאשר θ זה מחצית סכום הזוויות ההפוכות (בחירת הזוויות היא שרירותית, כי אם נבחר את הזוג השני, אז הזווית תהיה 180 פחות θ, אז cos(180° − θ ) = −cos θ , ומכאן cos2 (180° − θ ) = cos2 θ , אז הזוויות לא משנה), נוסחה זו ידועה בתור נוסחת ברטשניידר . כאשר המרובע הוא בר חסימה, אז θ שווה ל-90°, אז:
a
b
c
d
cos
2
θ
=
a
b
c
d
cos
2
(
90
∘
)
=
a
b
c
d
⋅
0
=
0
,
{\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,\,}
![{\displaystyle [2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3e3b589c2b7d832e18139d539a9b8658dfed2b)
![{\displaystyle =[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506504ce20073b3e8c0b2893d36fdffe6f2e4810)
