משתמש:Shaitibber/אינטגרל לא אמיתי

בחשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל לא אמיתי (או אינטגרל מוכלל) מהווה הכללה מתמטית של האינטגרל המסוים לקטעים לא סופיים ולפונקציות בלתי-חסומות בקטעים פתוחים או חצי פתוחים. באינטגרלים מסוג כזה משתמשים בד"כ באותו הסימון שמשתמשים בו באינטגרל המסוים, אך סימון זה מסתיר את השימוש בגבולות, בלעדיו האינטגרל הלא-אמיתי כלל לא מוגדר.

עבור אינטגרלים על קטעים אינסופיים, האינטגרל יהיה גבול מהצורות הבאות:

$\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}f(x)\,\mathrm {d} x$

או מהצורות הבאות עבור אינטגרלים על פונקציות לא חסומות:

$\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

אינטגרל מוכלל בקרן אינסופית

אינטגרל מוכלל של פונקציה לא חסומה

כל ההגדרות שנביא כאן עבור אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים חצי פתוחים מימין, אנלוגיים להגדרות עבור קטעים חצי פתוחים משמאל.

אינטגרלים לא אמיתיים של פונקציות לא חסומות

ניסוח פורמלי

תהא $f\,$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,b)\,$ ובלתי חסומה שם. אם $f\,$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע $[a,b)\,$ ואם קיים הגבול $\lim _{t\to b^{-}}\int _{a}^{t}f(x)dx\,$, אז נאמר כי $f\,$ אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע $[a,b)\,$ והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של $f\,$ בקטע $[a,b)\,$ וסימונו יהיה $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,$. כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר.

דוגמה: יהי $a>0\,$. באמצעות שיטות אינטגרציה ניתן להוכיח כי $\int _{0}^{a}{{dx} \over {x^{t}}}$ מתכנס אם ורק אם $t<1\,$. באותו אופן $\int _{0}^{a}{{dx} \over {x^{t}}}$ מתבדר אם ורק אם $t\geq 1\,$. ^{[דרוש מקור]}

אינטגרביליות בהחלט

תהא $f\,$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,b)\,$ ובלתי חסומה שם. אם $f\,$ אינטגרבילית לפי רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע $[a,b)\,$ ואם האינטגרל $\textstyle \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|dx$ מתכנס, אז נאמר ש-$f\,$ אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ מתכנס בהחלט. קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אנטגרבילית. (במובן המוכלל).

הרחבת ההגדרה

תהא $f\,$ פונקציה המוגדרת בקטע $(a,b)\,$. אם $f\,$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע $(a,b)\,$ ואם קיים $b>d>a\,$ כך שהאינטגרלים $\textstyle \int _{a}^{d}f(x)dx$,$\textstyle \int _{d}^{b}f(x)dx$ מתכנסים, נאמר ש-$f\,$ אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע $(a,b)\,$.

באופן כללי מגדירים אינטגרביליות במובן המוכלל בקטע אם ורק אם ניתן לחלקו לקטעים חצי פתוחים בהם הפונקציה אינטגרבילית במובן המוכלל לפי ההגדרה הראשונה.

מבחני התכנסות

מבחן קושי

תכונת האדיטיביות של האינטגרל המסוים מאפשרת לבחון התכנסות אינטגרל על ידי מבחן קושי לקיום גבול של פונקציה:

תהא $f\,$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,b)\,$ בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע $[a,b)\,$. אז $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ מתכנס אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0\,$ כך שלכל $w>v\,$ ממשיים בקטע $(b-\delta ,b)\,$ מתקיים:

$\left|\int _{v}^{w}f(x)dx\right|<\varepsilon$

מבחן ההשוואה

מתכונת המונוטוניות של האינטגרל וממבחן קושי נובע המבחן הבא:

תהיינה $f,g\,$ פונקציות המוגדרת בקטע $[a,b)\,$ ובלתי חסומות שם. אם $f\,$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע $[a,b)\,$ ואם קיימת סביבה שמאלית של $b\,$ שבה מתקיים $0\leq f(x)\leq g(x)$ אז:

• אם $\textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx$ מתכנס אז גם $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ מתכנס.
• אם $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ מתבדר אז גם $\textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx$ מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי

תהיינה $f,g\,$ פונקציות חיוביות המוגדרת בקטע $[a,b)\,$ ובלתי חסומות שם. אם $f\,$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע $[a,b)\,$ ואם קיים הגבול $\lim _{x\to b^{-}}\textstyle {{f(x)} \over {g(x)}}$ והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ ו- $\textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx$ מתבדרים ומתכנסים יחדיו.

במידה והגבול שווה ל-0 אז:

• אם $\textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx$ מתכנס אז גם $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ מתכנס.

ואם הגבול הוא אינסוף אז:

• אם $\textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx$ מתבדר אז גם $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ מתבדר.

אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים אינסופיים

ניסוח פורמלי

תהא $f\,$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,+\infty )\,$, ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל. אז אם קיים הגבול $\lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)dx\,$, אז נאמר כי $f\,$ אינטגרבילית בקטע $[a,+\infty )\,$ והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של $f\,$ בקטע $[a,+\infty )\,$ וסימונו יהיה $\textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx\,$. כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר.

דוגמה:

האינטגרל $\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}$ מתכנס שכן,

$\lim _{t\to \infty }\int _{0}^{t}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{t\to \infty }\arctan {t}={\frac {\pi }{2}},$

אינטגרביליות בהחלט

תהא $f\,$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,+\infty )\,$. אם $f\,$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע לעיל, ואם האינטגרל $\textstyle \int _{a}^{\infty }\left|f(x)\right|dx$ מתכנס, אז נאמר ש-$f\,$ אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל $\textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx$ מתכנס בהחלט. גם פה קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית (במובן המוכלל).

הרחבת ההגדרה

תהי $f\,$ פונקציה המוגדרת ב-$\mathbb {R}$ ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור. אם קיים $d\,$ ממשי כך שהאינטגרלים $\textstyle \int _{d}^{\infty }f(x)dx\,$, $\textstyle \int _{-\infty }^{d}f(x)dx$ מתכנסים, נאמר ש-$f\,$ אינטגרבילית ב-$\mathbb {R}$.

מבחני התכנסות

מבחן קושי

תהא $f\,$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,\infty )\,$ בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע $[a,\infty )\,$. אז $\textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx$ מתכנס אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $\ M>0\,$ כך שלכל $w>v>M\,$ ממשיים מתקיים:

$\left|\int _{v}^{w}f(x)dx\right|<\varepsilon$

מבחן ההשוואה

תהיינה $f,g\,$ פונקציות המוגדרת בקטע $[a,\infty )\,$ ובלתי חסומות שם. אם $f\,$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע $[a,\infty )\,$ ואם קיים $b\in [a,\infty )$ כל שלכל $x>b$ מתקיים $0\leq f(x)\leq g(x)$ אז:

• אם $\textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)dx$ מתכנס אז גם $\textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx$ מתכנס.
• אם $\textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx$ מתבדר אז גם $\textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)dx$ מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי

תהיינה $f,g\,$ פונקציות רציפות ואי-שליליות בקטע $[a,\infty )\,$. אם קיים הגבול $\lim _{x\to \infty }\textstyle {{f(x)} \over {g(x)}}$ והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים $\textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx$ ו- $\textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)dx$ מתבדרים ומתכנסים יחדיו.

במידה והגבול שווה ל-0 אז:

• אם $\textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)dx$ מתכנס אז גם $\textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx$ מתכנס.

ואם הגבול הוא אינסוף אז:

• אם $\textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)dx$ מתבדר אז גם $\textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx$ מתבדר.

מבחן דיריכלה

מבחן דיריכלה מאפשר לבדוק התכנסות של פונקציות גם כאשר הן משנות סימן, ובזה כוחו.

תהיינה $f,g\,$ פונקציות רציפות בקטע $[a,+\infty )\,$. אם מתקיים:

• $f\,$ מונוטונית יורדת בקטע $[a,+\infty )\,$.
• $\lim _{x\to \infty }f(x)=0$.
• הפונקציה $\textstyle G(x)=\int _{a}^{x}g(t)dt$ חסומה בקטע $[a,+\infty )\,$.

בתנאים אלו האינטגרל $\int _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx$ מתכנס.