בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' עבור זוג פונקציות. למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל.
תהיינה ו- פונקציות רציפות בקטע וגזירות בקטע . נניח שהנגזרת של לכל . אזי קיימת נקודה כך שמתקיים .
הערה: מכך שהנגזרת אינה מתאפסת בקטע ומקונטרה פוזיטיב למשפט רול מתקבל ולכן אין חלוקה באפס.
משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא מקרה פרטי של משפט הערך הממוצע של קושי, עבור .
ראשית נשים לב כי אם אז על פי משפט רול קיימת נקודה כך ש-, וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח .
כעת נגדיר פונקציה חדשה:
פונקציה זו נבנית מהפונקציות
באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו
, היא רציפה בקטע
וגזירה בקטע
.
אם נציב, נקבל את השוויון . לכן F מקיימת את תנאי משפט רול, ומכאן שקיימת נקודה כך ש-.
אבל . ולכן: .
על פי הנתון, ולכן ניתן לחלק, ולקבל , כמבוקש.