משתמש:Rosielev/מודל בלטראמי-קליין

קווים היפרבוליים רבים דרך נקודה P שאינם חותכים את קו a במודל בלטרמי-קליין

בגיאומטריה, מודל בלטראמי-קליין, הנקרא גם המודל הפרוייקטיבי, מודל הדיסק של קליין, ומודל קיילי-קליין, הוא מודל של גיאומטריה היפרבולית שבו נקודות מיוצגות על ידי הנקודות בחלק הפנימי של דיסק היחידה (או כדור יחידה n-ממדי) והקווים מיוצגים על ידי המיתרים, קטעי קו ישרים עם נקודות קצה אידיאליות על כדור הגבול.

מודל בלטראמי-קליין נקרא על שם המתמטיקאי האיטלקי אאוג'ניו בלטראמי ופליקס קליין הגרמני בעוד "קיילי" בדגם קיילי-קליין מתייחס למתמטיקאי האנגלי ארתור קיילי .

מודל בלטראמי-קליין שקול להטלה סטריאוגרפית של גיאומטריה ספרית, בכך שגיאודזים ( מעגלים גדולים בגיאומטריה ספרית) ממופים לקווים ישרים.

בניגוד למודל הדיסק של פואנקרה, מודל זה אינו קונפורמי(כלומר זוויות ומעגלים מעוותים)

במודל זה, קווים ומקטעים הם מקטעים אוקלידיים ישרים, בעוד שבמודל הדיסק של פואנקרה, קווים הם קשתות הפוגשות את השפה בצורה אורתוגונלית .

נוסחת מרחק

המרחקים במודל זה הם מרחקי קיילי-קליין. בהינתן שתי נקודות שונות p ו- q בכדור היחידה הפתוח, הקו הישר הייחודי המחבר ביניהן חוצה את הגבול בשתי נקודות אידיאליות, a ו- b, תייג אותן כך שהנקודות יהיו, בסדר, a, p, q, b, כך ש [להשלים]

המרחק ההיפרבולי בין p ל- q הוא אם כן: $d(p,q)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}$

הפסים האנכיים מציינים מרחקים אוקלידיים בין הנקודות במודל; ln הוא הלוגריתם הטבעי; והגורם של חצי דרוש כדי לתת למודל את העקמומיות הסטנדרטית של 1−.

כאשר אחת הנקודות היא ראשית הצירים והמרחק האוקלידי בין הנקודות הוא r אז המרחק ההיפרבולי הוא:

${\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r,$

כאשר artanh הוא הפונקציה ההיפרבולית ההפוכה של פונקצית tan .