משתמש:Fr.dror/טיוטה

דף זה שייך למשתמש:fr.dror ואין לערוך אותו. אם אין לך דף אימון, לחץ/י על המילה "טיוטה" המופיעה בקצה השמאלי העליון.

שדה – דוגמאות

חיבור
+ כ$O$ כ$I$ כ$A$ כ$B$ $O$ כ$O$ כ$I$ $A$ $B$ $I$ כ$I$ כ$O$ $B$ $A$ $A$ $A$ $B$ $O$ $I$ $B$ $B$ $A$ $I$ $O$

מספרים רציונליים

ערך מורחב – מספר רציונלי

מספרים רציונליים היו בשימוש נרחב זמן רב לפני המצאת מושג השדה. אלו מספרים שניתן לכתוב כשברים $a/b$, כאשר $a$ ו-$b$ הם מספרים שלמים עם $b\neq 0$. הנגדי לשבר שכזה הוא $-a/b$ וההופכי אליו (בהנחה כי $a\neq 0$) הוא $b/a$, שניתן לראות כדלקמן:

${\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1$

כל אקסיומות השדה שצריך לקיים אלו תכונות סטנדרטיות של מספרים רציונליים. לדוגמא, ניתן להוכיח דיסטריבוטיביות באופן הבא:

${\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}\end{aligned}}$

מספרים ממשיים ומרוכבים

ערכים מורחבים – מספר ממשי, מספר מרוכב

המספרים הממשים $\mathbb {R}$, עם הפעולות הרגילות של חיבור וכפל, גם יוצרים שדה. המספרים המרוכבים $\mathbb {C}$ מורכבים מביטויים $a+bi$ עם $a,b$ ממשיים, כאשר $i$ היא היחידה המדומה, כלומר מספר (לא ממשי) המקיים $i^{2}=-1$${\textstyle i^{2}=-1}$.

היסטוריה

היסטורית, שלוש דיסציפלינות אלגבריות הביאו לרעיון של שדה: השאלה של פתרון משוואות פולינומיאליות, תורת המספרים האלגברית, וגאומטריה אלגברית. צעד ראשון בכיוון של שדות נוצר לראשונה ב-1770 על ידי ז'וזף-לואי לגראנז', שגילה שאם מסדרים מחדש שורשים של משוואה ממעלה שלישית $x_{1},x_{2},x_{3}$ מקבלים בביטוי

$(x_{1}+\omega x_{2}+\omega ^{2}x_{3})^{3}$

רק שני ערכים (כאשר $\omega$ הוא שורש יחידה מסדר שלישי).

באופן הזה, לגראנז' מסביר את הקונספט של הפתרון הקלאסי למשוואות ממעלה שלישית של שיפיונה דל פרו ופרנסואה וייט, המתחילה בצמצום של משוואה ממעלה שלישית ב-$x$ למשוואה במעלה שנייה ב-$x^{3}$. יחד עם הבחנה דומה על משוואות ממעלה רביעית, לגראנז' חיבר בין מה שמאוחר נהיה הקונספט של שדה והסונספט של חבורה. ונדרמונד, גם ב-1770, וגם קרל פרידריך גאוס במידה מסוימת בספרו מחקרים אריתמטיים (1801), חקר את המשוואה

$x^{p}=1$

עבור ראשוני $p$, ובכך קיבל את מה שידוע כיום בתור חבורת גלואה ציקלית. גאוס הסיק מכך שיש בנייה בסרגל ובמחוגה עבור מצולע משוכלל עם $p$ צלעות, כאשר $p=2^{2^{k}}+1$. בהסתמך על עבודתו של לגראנז', פאולו רופיני טען ב-1799 כי לא ניתן לפתור באופן אלגברי משוואה ממעלה חמישית, אבל היו חורים בהוכחה שלו. חורים אלו מולאו על ידי נילס הנריק אבל ב-1824. אווריסט גלואה מצא ב-1832 טענים הכרחיים ומספיקים לכך שמשוואה ממעלה חמישית תהיה פתירה באופן אלגברי, ובכך התחיל את מה שידוע כיום בתור תורת גלואה. גם אבל וגם גלואה עבדו עם מה שמכונה היום שדה מספרים, אבל לא הגו באופן מפורש את המושג של שדה, או את המושג של חבורה.

ב-1871 ריכרד דדקינד הציג את המילה הגרמית Körper עבור קבוצה של מספרים ממשיים או מרוכבים שסגורה תחת ארבע פעולות החשבון, שמשמעותה בגרמנית היא "גוף" או "קורפוס" (כדי לציין יישות שסגורה באופן אורגני). המונח האנגלי field, שתורגם ישירות לעברית כ"שדה", הוצג לראשונה על ידי מור.^{[דרוש מקור]}

במילה שדה, נתכוון למערכת אינסופית של מספרים ממשיים או מרוכבים שסגורה באופן מושלם, כך שחיבור, חיסור, כפל וחילוק של שני מספרים במערכת מביא למספר חדש במערכת.

— ריכרד דדקינד, 1871^{[דרוש מקור]}

ב-1881, לאופולד קרונקר הגדיר את מה שהוא כינה "תחום הרציונליים", שהוא שדה שברים במונחים של היום. ההגדרה של קרונקר לא כיסתה את שדה המספרים האלגבריים (שהוא שדה במובן של דדקינד), אבל מצד שני הייתה יותר אבסטרקטית מזו של דדקינד בכך שהיא לא עשתה אף הנחה ספציפית בנוגע לסוג האיברים שיכולים להופיע בשדה. קרונקר פירש שדה כמו $\mathbb {Q} (\pi )$ באופן אבסטרקטי כמו השדה של פונקציות רציונליות $\mathbb {Q} (x)$. לפני כן, דוגמאות למספרים טרנסצנדנטליים היו ידועות מאז עבודתו של ז'וזף ליוביל ב-1884, עד ששארל הרמיט (1873) ופרדיננד לינדמן (1882) הוכיחו כי $e$ ו-$\pi$ טרנסצנדנטליים, בהתאמה.

ההגדרה הברורה הראשונה לשדה אבסטרקטי הייתה של היינריך וובר (1893). ספציפית, ההגדרה שלו כללה את השדה $\mathbb {F} _{p}$. ג'וזפה ורונזה (1891) חקר את השדה של טורי חזקות פורמליים, מה שהוביל את קרט הנזל (1904) להציג את שדה המספרים ה-p-אדיים. שטייניץ (1910) אסף וסידר את הידע על שדות אבסטרקטיים שנצבר עד כה. הוא חקר אקסיומתית את התכונות של שדות והגדיר הרבה מהרעיונות החשובם בתורת השדות. רוב המשפטים המוזכרים בפרקים של תורת גלואה, בניית שדות, ומושגים בסיסיים, נמצאים בעבודתו של שטייניץ. ארטין ושטייניץ (1927) חיברו את הרעיון של סידור איברי שדה, ובכך את התחום הרחב של אנליזה, לתכונות אלגבריות טהורות. אמיל ארטין פיתח מחדש את תורת גלואה בין 1928 ל-1942, ומחק את התלות של התורה במשפט האיבר הפרימיטיבי.

חלק ממשנה ויקיפדית

דוגמה לכך היא דוד שי שכתב את הערך על אמריטה פריטם בגלל שלגוגל היה דודל באותו היום. וזה טוב מאוד ש-12,000 אנשים בארץ ראו את הדודל, שאלו את עצמם מי זו, ופתחו ויקיפדיה, אבל הבעיה היא שמעט מאוד מהם קראו אודותיה. לדעתי הרבה יותר חשוב לערוך ערכים שאנשים באמת רוצים לקרוא במלואם, כמו סטן לי. אבל הכי חשובים הם אנשי המחקר/ידע, שכותבים באנגלית, ובכך לא רק משפרים את הידע של כל קוראי הויקיפדיה האנגלית, אלא גם של השפות האחרות, שכן ערכים מתורגמים מאנגלית לעיתים קרובות.

הילברט

לפי דבריהם של ג'רמי גריי ודייוויד ראו, אשר פרסמו ספר העוסק בשאלות שהציג הילברט, רוב השאלות שהוצגו על ידי הילברט בשנת 1900 נפתרו. חלקן לא הוגדרו היטב, אבל הושגה התקדמות מספקת על מנת להגדירן כ"פתורות". ראו וגריי מציינים את הבעיה הרביעית כמעורפלת מדי מכדי להחליט אם היא נפתרה או לא.

כמו כן, הם מנו את הבעיה השמונה-עשרה כבעיה פתוחה בזמן הוצאת ספרם בשנת 2000 וזאת כיוון ש"בעיית סידור התפוזים במרחב", הידועה גם כהשערת קפלר נשארה בלתי-פתורה, אך פתרון שהוצע נמצא בבדיקה; קיים עיכוב בבדיקת הטענה משום שראש צוות הבדיקה הודיע כי בגלל עומס הפרטים בהוכחה אין הוא יכול להכריע לגבי נכונותה. יתר על-כן, נרשמו בעשור האחרון התקדמויות גם בפתרון הבעיה השש-עשרה.

בעיה 8 כוללת שתי שאלות מפורסמות, אשר שתיהן נשארו בלי פתרון. הראשונה שבהן, השערת רימן, היא אחת משבע השאלות של פרס המילניום של קליי, אשר אמורות להוות "רשימת הילברט" חדשה למאה ה-21.

ויקיגמד

ויקיגמד הוא כינוי למשתמש ויקיפדיה או אחד מהמיזמים האחרים של ויקימדיה, אשר נוטה, לרוב, לעשות תרומות קטנות ומועילות בלי לבקש תשומת לב. הוויקיגמדים עובדים "מאחורי הקלעים" במרחב הערכים, סוגרים קצוות ומוודאים שהכול מתנהל כשורה. דוגמאות לדפוסי התנהגות של ויקיגמדים: תיקון שגיאות כתיב ודקדוק, תיקון קישורים שבורים, יצירת דפי הפניה, סיווג לקטגוריות ועוד. דרכי התנהגות אופייניים הם לסמן את תיבת "זוהי עריכה משנית" לפני שמירת עריכה כלשהי וגם לא לספק תקציר עריכה. הויקיגמד הוא הדוגמה הקלאסית של הויקיפאונה. בניגוד לתפיסה ש"שום גמדים לא יבואו", מסתבר שקיימים ויקיפדים שבשעות הקטנות של הלילה (או הגדולות של היום), בשקט בשקט, שוקדים על תיקונים קטנים וחסרי תהילה, המשפרים ומשכללים את ויקיפדיה.

ויקיגמדים נחשבים ידידותיים כמו הויקיפיות והויקיאלפים. ההפך הגמור של ויקיגמד הוא ויקיעוג.

התחממות עולמית

סנדרס תומך בלקיחת פעולה נועזת כדי להפוך את ההתחממות העולמית וקורא להשקעה משמעותית בתשתיות, עם "חסכון באנרגיה, קיימות ויצירת עבודות" בתור מטרות ראשיות. הוא מחשיב את שינוי האקלים בתור האיום הגדול ביותר לביטחון המדינה. ביולי 2019, סנדרס וחברת בית הבנחרים אלכסנדריה אוקסיו-קורטז הציעו חקיקה שתכריז על התחממות עולמית כמצב חירום מדיני ובינלאומי.

קטעי "הידעת?" פוטנציאליים

הביטלס

• על אף שהיה המתופף הראשי של הביטלס, רינגו סטאר תיעב שירים שכללו סולו תופים. באלבום Abbey Road הופיעה מחרוזת שירים של 16 דקות הנגמרת בשיר "The End", שלפי התכנונים היה אמור לכלול סולו תופים. רינגו התנגד לזה ונוצר ויכוח נוסף בין חברי הלהקה, שגם ככה היו מלאי תככים ומתחים, שנגמר בכך שרינגו הסכים לבצע את הסולו.
• הכיתוב על התקליט של האלבום Abbey Road אומר כי "The End" הוא השיר האחרון עליו, אבל כיתוב זה נועד להוליך את המאזינים שולל. לאחר שהתווים האחרונים של השיר מנוגנים, נשמעת דממה של כ-20 שניות, ואחרי אקורד גיטרה רועש במיוחד מתנגן שיר קצר בשם "Her Majesty", שנגמר באופן מפתיע.
• בדומה לידיעה הקודמת (אולי אפילו כדאי איחוד), בסוף של A Day In The Life מתנגן אקורד מאוד חזק שלאט לאט נהיה גבוה יותר. High-pitched tone and run-out groove
• שניים משירי האהבה הלועזיים המוכרים ביותר, Layla ו-Something, נכתבו על אותה האישה. ג'ורג' האריסון נישא לפאטי בויד ב-1966 וכתב עליה מספר שירים, ביניהם הסינגל Something מתוך האלבום Abbey Road. בזמן שהיה חבר בביטלס, האריסון החל להתייתד עם אריק קלפטון, ובזמן שהיו ביחד, קלפטון החל להתאהב בבויד. ב-1977 בויד התגרשה מהאריסון על "רומניו החוזרים ונשנים" ואחרי שנתיים התחתנה עם קלפטון.

אווטאר

• על אף שמאמינים כי הן נוצרו רק לילדים, סדרות מצוירות יכולות למצוא חן גם בעיני מבוגרים ויש כאלו שנועדו למבוגרים בלבד. משפחת סימפסון, סיטקום אמריקני שהתחיל בשנות ה-70, ידוע ביותר בתור סדרת אנימציה למבוגרים ונתן השראה להרבה סדרות אחרות למבוגרים.
• אנימה מאוד פופולרי בארצות הברית
• ביסקסואליות?

מהסוג שבו הסדרה היא הנושא מרכזי

• הסדרה אווטאר, ששודרה כסדרת ילדים בניקלודיון בשנות ה-2000, זכתה להצלחה מסחררת גם בקרב מבוגרים ומבקרים, בין היתר בגלל:
• בניית העולם שלה, שיש מי שתיארו אותו כרחב כשל טולקין. הסדרה מתרחשת בעולם שמחולק לארבעה אומות, לפי ארבעת היסודות הקלאסיים. אומת האש למשל,
• הנושאים המורכבים שעליה הסדרה מדברת, כמו רצח עם, אימפריאליזם, העצמה נשית וגורל. כשהדמויות הראשיות מטיילות ברחבי אומת האש, שפתחה במלחמה אימפריאליסטית על שאר העולם, הן לומדות על הפרופוגנדה שנעשית בה כמטרה להצדיק את המלחמה, ועל איסור חופש הדיבור ואפילו הריקוד בבתי ספר. אבל באותו הזמן, גם ממלכת האדמה מדכאת את אזרחיה ושוטפת את המוח לאלה שמדברים על המלחמה. דבר זה נעשה במטרה להראות שמלחמה הופכת את כולם לקורבנות.

בסיס ותכונות

שם

הסמל שבו משתמשים לייצוג היחס בין ההיקף לקוטר של מעגל הוא האות היוונית π, לפעמים נכתב על ידי איות המילה "פאי", ונובע מהאות הראשונה של המילה היוונית perimetros, שמשמעותה היקף. בשימוש מתמטי, האות הקטנה π מובדלת מהאות הגדולה ∏, שמשמשת לציון מכפלה, בדומה לשימושה של ∑ לציון סכום.

הגדרה

π מוגדר לרוב לפי היחס בין היקף המעגל C לקוטרו d:

$\pi ={\frac {C}{d}}$

היחס הוא קבוע, בלי תלות בגודל המעגל. לדוגמה, אם קוטר המעגל גדול פי 2 מקוטרו של מעגל אחר, גודלו של ההיקף גם יהיה פי 2 יותר, מה שמשמר את היחס C/d. ההגדרה הזו של π משתמשת בגאומרטיה מישורית (אוקלידית); על אף שניתן להגדיר מעגל על כל גאומטריה אחרת, מעגלים אלו כבר לא יקיימו את הנוסחה π = C/d.

כאן, היקף המעגל מוגדר כאורך הקשת של המעגל, ערך שיכול להיות מוגדר פורמלית בלי תלות בגאומטריה של ידי גבולות, מושג מחשבון אינפיניטסימלי. לדוגמה, ניתן לחשב את אורך הקשת של חציו העליון של מעגל היחידה, הנתון במערכת צירים קרטזית על ידי המשוואה x² + y² = 1, בתור האינטרגל:

$.\pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

אינטגרל שכזה אוּמָץ כַּהגדרה של π על ידי קארל ויירשטראס, שהגדיר אותו ישירות כאינטגרל ב-1841.

הגדרות של π כמו אלו מסתמכות על הרעיון של היקף, ולכן גם על קונספטים בחשבון אינטגרלי, כבר לא נפוצות יותר בספרות. רמט (1991) מסביר שזה מכיוון שבהרבה גישות ללימוד חשבון אינפיניטסימלי, חשבון דיפרנציאלי קודם לחשבון אינטגרלי בסילבוס האוניברסיטאי, לכן עדיף שתהיה הגדרה של π שלא מסתמכת על אינטגרלים. הגדרה אחת שכזו היא כזו: π הוא פעמיים המספר החיובי הקטן שבו ערך פונקציית הקוסינוס הוא 0. קוסינוס יכול להיות מוגדר באופן בלתי תלוי ברדיאנים בתור טור חזקות, או בתור פתרון למשוואה דיפרנציאלית.

באופן דומה, π יכול להיות מוגדר באמצעות תכונותיו של האקספוננט המרוכב, $e^{z}$, של משתנה מרוכב z. כמו הקוסינוס, פונקציית האקספוננט ניתנת להגדרה בדרכים רבים. הקבוצה של כל המספרים המרוכבים בהם $e^{z}=1$ היא סדרה חשבונית (מרוכבת) מהצורה

$\{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}$

ויש רק מספר ממשי חיובי אחד, π, עם התכונה הזו. וריאציה יותר אבסטרקטית של אותו רעיון, המשתמשת במושגים מתמטיים של טופולוגיה ואלגברה, היא המשפט הבא: קיים ויחיד (עד כדי אוטומורפיזם) איזומורפיזם רציף מהחבורה R/Z, שהיא חבורת המנה של המספרים הממשיים תחת חיבור ביחס למספרים השלמים, לחבורה הכפלית של הקבוצה $\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$. π מוגדר כמחצית גודל הנגזרת של ההומומורפיזם.

מעגל היא הצורה בעלת יחס השטח להיקף הגדול ביותר. על כן, π גם מוגדר כקבוע האופטימלי באי-שוויון האיזופרימטרי (חלקי ארבע). ישנם דרכים רבים אחרות, קשורות זו בזו, שבהן π מופיע כערך עצמי של איזשהו תהליך פיזיקלי או גאומטרי; ראו למטה.

אי-רציונאליות ונורמליות

The degree to which π can be approximated by rational numbers (called the irrationality measure) is not precisely known; estimates have established that the irrationality measure is larger than the measure of e or ln 2 but smaller than the measure of Liouville numbers.

π הוא מספר אי-רציונלי; לא ניתן לרשום אותו כיחס של שני מספרים שלמים (על אף ששברים כמו 22/7 או 355/113 קרובים מאוד). מכיוון ש-π אי-רציונאלי, יש לו מספר אינסופי של ספרות בייצוג העשרוני שלו, בלי שיהיה בהן רצף מחזורי החל משלב כלשהו. ישנם מספר הוכחות ש-π אי-רציונאלי; באופן כללי, הן דורשות חשבון אינפיניטסימלי ושימוש בהוכחה בדרך השלילה. _{משהו על דרגת אי-רציונאליות.}

לספרות של π אין דפוס ידוע והן עברו מבחנים של רנדומליות ושל נורמליות; מספר ייקרא נורמלי אם כל הרצפים האפשריים של ספרות (מכל אורך נתון) מופיעים באותה המידה. ההשערה כי π נורמלי לא הוכחו או הופרכו. מאז הופעת המחשבים, כמות גדולה מספרותיו של π כבר חושבו והיו נתונות לניתוחים סטטיסטיים. המתמטיקאי יאסומאסה קנדה עשה ניתוחים סטטיסטיים על ספרותיו העשרוניות של π ומצא שהם עולים בקנה מידה אחת נורמליות.

found them consistent with normality; for example, the frequencies of the ten digits 0 to 9 were subjected to statistical significance tests, and no evidence of a pattern was found. Any random sequence of digits contains arbitrarily long subsequences that appear non-random, by the infinite monkey theorem. Thus, because the sequence of π's digits passes statistical tests for randomness, it contains some sequences of digits that may appear non-random, such as a sequence of six consecutive 9s that begins at the 762nd decimal place of the decimal representation of π. This is also called the "Feynman point" in mathematical folklore, after Richard Feynman, although no connection to Feynman is known.

טרנסצנדנטיות

בנוסף להיותו אי-רציונאלי, π הוא למעשה גם מספר טרנסצנדנטי, מה שאומר שהוא לא שורש של אף פולינום.

לטרנסצנדנטיות של π יש שתי השלכות חשובות: ראשית, לא ניתן להביע את π על ידי אף קומבינציה סופית של מספרים רציונליים ושורשים ריבועיים או שורשים n-יים כמו 31√³ או 10√. שנית, מכיוון שאף מספר טרנסצנדנטלי לא ניתן לבנייה בסרגל ובמחוגה, זה אומר שלא ניתן "לתרבע את המעגל". במילים אחרות, זה בלתי אפשרי לבנות, באמצעות סרגל ומחוגה, ריבוע ששטחו בדיוק כשטח מעגל נתון. תרבוע המעגל הייתה אחת הבעיות הגאומטריות החשובות ביותר בתקופה הקלאסית.

מספרים מרוכבים וזהות אוילר

כל מספר מרוכב z ניתן להביע על ידי זוג מספרים ממשיים. בקואורדינטות קוטביות, כל מספר מרוכב מיוצג על ידי שני מספרים: מספר אחד (הרדיוס r) משומש כדי להציג את המרחק של z מראשית הצירים של המישור המרוכב, בעוד שהמספר השני (הזווית φ) משומש כדי לייצג את סיבוב נגד כיוון השעון מישר המספרים הממשיים החיוביים. באופן פורמלי, z מיוצגת באופן הבא:

$,z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$
כאשר i הוא היחידה המדומה המקיימת i² = -1, והביטויים cosφ, sinφ הם הפונקציות סינוס וקוסינוס. ההופעה הנפוצה של π באנליזה מרוכבת מתקשרת להתנהגות של פונקציית האקספוננט בערכים מרוכבים, המתוארת על ידי נוסחת אוילר:

$,e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi$

שבה המספר e מציין את בסיס הלוגריתם הטבעי. הנוסחה הזו מבססת התאמה בין חזקות מדומות של e ונקודות על מעגל היחידה המרוכב. הצבת φ = π בנוסחת אוילר נותנת את זהות אוילר, הנחגגת על ידי מתמטיקאים מכיוון שהיא מכילה את חמשת הקבועים המתמטיים החשובים ביותר:

$.e^{i\pi }+1=0$

ישנם n מספרים מרוכבים z ששונים זה מזה המקיימים zⁿ = 1, הנקראים "שורשי יחידה מסדר n". הם ניתנים על ידי הנוסחה הבאה:

$e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1)$

אמנותיות

_{יצירותיהם של הביטלס שאבו השראה ממקורות שונים. ניתן לומר שמקור ההשראה העיקרי היה רוק אנד רול של שנות ה-50. ההרמוניות הקוליות הושפעו ישירות מהאמנים השחורים של חברת מוטאון בארצות הברית, והיצירה המוקדמת שלהם, מצ'אק ברי וליטל ריצ'רד. השפעה נוספת על הביטלס הייתה להקת "The Beach Boys", שהצטיינה אף היא בהרמוניות קוליות, אך במקרה זה ההשפעה הייתה הדדית.}

_{באופן אישי שאבו חברי הלהקה השראה ממקורות שונים - לנון ומקרטני הושפעו בתחילה מאלביס פרסלי, באדי הולי, רוי אורביסון והאחים אברלי. לאחר מכן הכיר לנון את עבודתו של בוב דילן ובעקבותיו הוסיף ליצירתו השפעות ממוזיקה עממית. לנון שיחק תפקיד חשוב בכיוון הלהקה אל הפסיכדליה. בסוף דרכה של הלהקה ובשנים שאחרי כן חזר לנון להתעניין בעיקר במוזיקת רוק בסיסית יותר.}

_{מקרטני אחראי להלחנתם של כמה מן השירים המלודיים יותר בלהקה, כמו הבלדות "Yesterday", ו-"Hey Jude". בה בעת הוסיף להתעניין במוזיקת רית'ם אנד בלוז. כמו כן נחשב לחבר בעל ההכשרה המוזיקלית המקיפה ביותר מבין חברי הלהקה, ואחראי לכמה מהחידושים שלהם בתחום העיבוד וההקלטה, זאת לצד השפעתו החשובה של מפיקם, ג'ורג' מרטין, בתחום זה.}

_{האריסון הושפע מאמני הרוקבילי הגדולים של שנות ה-50 כקארל פרקינס, סקוטי מור ודווין אדי. ב-1965 פרץ האריסון דרך חדשה כאשר ניגן בסיטאר בשיר "Norwegian Wood", ולאחר מכן המשיך בדרך זו ושילב מוטיבים הודיים בשירים נוספים של הלהקה. באלבומיהם האחרונים של הביטלס החל האריסון לעבור לקדמת הבמה, בלהיטים כמו "While My Guitar Gently Weeps" (בו משתתף גם אריק קלפטון בסולו גיטרה), "Here Comes the Sun" ו"Something".}

_{תרומתו של רינגו סטאר ללהקה אינה מוערכת דיה.^{[דרושה הבהרה]} בנוסף לאימוץ סגנון נגינה חדשני וחופשי יותר (לדוגמה בשיר "Ticket to Ride") שהרחיב את גבולות ז'אנר שירי הפופ, תרם רינגו סטאר להרחבת היריעה וקהל היעד, בכך שדמותו המוזיקלית והאישית הנעימה ואף הקריקטוריסטית התגלתה כפופולרית ומתאימה מאוד לשירי ילדים. בנוסף, אחראי רינגו סטאר לגלישות האקראיות של הלהקה למוזיקת הקאנטרי, וכן יזכרו תרומותיו בשירים "A Day in the Life", סולו התופים שלו בשיר "The End" (שאכן היה אחד האחרונים שהקליטה הלהקה) ובשיר "Come Together" שבו ניגן תפקיד מעניין לאורך כל השיר. שני שירים שכתב (בעזרת שאר חברי הלהקה, ובעיקר האריסון) ופורסמו באלבומי הלהקה הם: "Don't Pass Me By" ו "Octopus's Garden", אותם גם שר.}

_{המוזיקה של הביטלס עדיין מנוגנת ומושמעת על ידי להקות, אמנים בודדים ותזמורות בכל רחבי העולם.}

השפעות

ההשפעות המוקדמות של הלהקה כוללת את אלביס פרסלי, קארל פרקינס, ריצ'רד הקטן וצ'אק ברי. בתקופת השהייה המשותפת של הביטלס עם ריצ'רד הקטן במועדון הכוכבים בהמבורג, מאפריל למאי 1962, הוא ייעץ להם בנוגע לטכניקה הנכונה בשביל לבצע את שיריו. על פרסלי, לנון אמר "שום דבר לא באמת השפיע עליי עד ששמעתי את אלביס. אם לא היה אלביס, לא היו הביטלס."

השפעות מוקדמות נוספות כללו את באדי הולי, אדי קוקרן, רוי אורביסון והאחים אברלי. הביטלס המשיכו לשאוב השראה גם הרבה אחרי ההצלחה הראשונית שלהם, והם מצאו לעיתים קרובות גישות מוזיקליות וליריקליות חדשות כשהקשיבו לבני הזמן שלהם, ביניהם בוב דילן, The Who, פרנק זאפה, הבירדס ו-The Beach Boys, שאלבומם Pet Sounds, משנת 1966, הדהים והשרא את מקרטני. בהתייחסו למנהיג האומנותי של הביץ' בויז, מרטין אמר: "לאף אחד הייתה השפעה גדולה יותר על הביטלס מלבריאן וילסון." לראווי שנקר, שאיתו הלמד האריסון בהודו למשך שישה שבועות בסוף 1966, הייתה השפעה משמעותית על ההתפחות המוזיקלית של האריסון במהלך שנותיה האחרונות של הלהקה.