משתמש:Avneref/מתמטיקה/טנזור

אלגברה של טנזורים, סדרה מאת כריס-עצמי (eigenchris)
הבא: משתמש:Avneref/מתמטיקה/חשבון טנזורים

מקורות

אקדמיית קהאן: מבוא לטנזורים, סרטון באתר יוטיוב
טנזורים באופן אינטואיטיבי, סרטון באתר יוטיוב
דן פלייש. מהו טנזור, סרטון באתר יוטיוב
בריליינט
מכפלה טנזורית ללא המיתוס
(Penrose graphical notation)

מושגים

דרגה (rank) של טנזור, n: המספר של וקטורי-בסיס לכל רכיב, הדרושים לתיאור הטנזור; מספר האינדקסים לכל רכיב.
- סקלר הוא טנזור מדרגה 0; וקטור - דרגה 1; טנזור מאמצים - דרגה 2 (1: כיוון המשטח, 2: הכוח).
ממד (או order סדר?), m : מספר הצירים במערכת הקואורדינטות; הממד של המרחב שמעליו מוגדר הטנזור
- בהתייחס לאינדקסים עליונים ותחתונים: סדר = מספר האינדקסים למעלה ולמטה; למשל: טנזור מסדר 2,0.
מספר הרכיבים הכולל הנדרש לתאור הטנזור הוא: $m^{n}$
כלל ביטול האינדקסים של הדלתא של קרונקר: $L({\vec {v}})=L_{j}^{i}{\vec {e_{i}}}\epsilon ^{j}(v^{k}{\vec {e_{k}}})=L_{j}^{i}v^{k}{\vec {e_{i}}}\epsilon ^{j}({\vec {e_{k}}})=L_{j}^{i}v^{k}{\vec {e_{i}}}\delta _{k}^{j}=L_{j}^{i}v^{j}{\vec {e_{i}}}$

מוטיבציה

באשר לטנזור נתון: כל הצופים, בכל מערכת ייחוס, מסכימים - לא על וקטורי הבסיס (אלה מגדירים את מערכת הייחוס), לא על הרכיבים (אלה נגזרים מהמערכת) - אלא על השילוב של וקטורי הבסיס עם הרכיבים של הטנזור; וקטורי הבסיס משתנים באופן מסויים, והרכיבים משתנים כך שהשילוב אינווריאנטי. ליליאן ליבר (אנ') כינתה את הטנזור: עובדת היקום.

מס. 1-

גאומטריה
תורת היחסות הכללית; מכניקת הקוונטים (בעיקר מחשב קוונטי)

מס. 0

הגדרות של טנזור

מערך רב-מימדי של מספרים: סקלר, וקטור, מטריצה; לא - אלה רק ייצוגים של טנזורים, לא הם עצמם.
אינוריאנטי תחת שינוי קואורדינטות, ויש לו רכיבים שמשתנים באופן ייחודי, וצפוי.
אוסף של וקטורים וקו-וקטורים, הקשורים ביניהם ע"י מכפלה טנזורית
נגזרת חלקית וגרדיאנט, שמשתנים ע"י מטריצת היעקוביאן

אלגברה של טנזורים

(לא אלגברת הטנזורים!)

מס. 1

מעברים
קדימה F, ואחורה B; ו- $F\cdot B=I$

מס. 2

מהו וקטור

רשימה של מספרים; לא - אלה רכיבי הוקטור.
חץ; אבל אי אפשר לייצג כל וקטור כחץ - רק אוקלידיים.
איבר במרחב וקטורי. וקטור = פונקציה משדה המספרים הממשיים - למרחב וקטורי (מעל הממשיים)

מס. 3

רכיבים של וקטורים "מתנהגים" הפוך מ-וקטורי-בסיס

מטריצה F מעבירה וקטור מבסיס ישן לבסיס חדש, מטריצה B - ההיפך; F מעבירה מהרכיבים החדשים לישנים. לכן רכיבים נקראים Contra-variant (וכדי לציין זאת, מוסכם לכתוב את האינדקסים למעלה): ${\tilde {v^{i}}}=\sum _{j}{B_{ij}v^{j}};;v^{i}=\sum _{j}{F_{ij}{\tilde {v^{j}}}}$ ; בסיסים הם Covariant (ולכן למטה): ${\tilde {\alpha _{j}}}=\sum _{i}{F_{ij}\alpha _{i}};;\alpha _{j}=\sum _{i}{B_{ij}{\tilde {\alpha _{i}}}}$
כשמותחים את הבסיס, הרכיבים קטנים.
כשמסובבים הבסיסים ימינה - הרכיבים "מסתובבים" שמאלה (הוקטור הסתובב מעשית שמאלה, והזוית שהוא יוצר עם הבסיס 1 החדש גדלה = הקוסינוס קטן). לכן, רכיבים של וקטור הם Contra-variant תחת שינוי בסיס; וקטורים הם טנזורים קונטרה-וריאנטים, או טנזור-(1,0). לכן האינדקסים של רכיבים נכתבים למעלה, ושל בסיסים - למטה.

מס. 4

קו-וקטורים
קו-וקטורים = פונקציות $\alpha :V\rightarrow \mathbb {R}$ . טנזורי-(0,1)

ביחס לבסיס אורתונורמלי, רכיבי הקו-וקטור מהווים "וקטור"-שורה, שניתן לראותו (בכך שהוא כופל משמאל) כפונקציה הפועלת על "וקטור"-עמודה (שמימינו; והתוצאה היא סקלר); רכיבי הוקטור ביחס לבסיס אורתונורמלי מהווים וקטור-עמודה, שהטרנספוז שלו הוא וקטור-שורה שמהווה את רכיבי הקו-וקטור ביחס לבסיס הדואלי. מכאן: פעולה של קו-וקטור על וקטור, שיש לו אותם רכיבים ביחס לבסיס אורתונורמלי כמו שיש לקו-וקטור ביחס לבסיס הדואלי - פעולה זו היא הנורמה של הוקטור (במקרה של מרחב כזה, שהוא שטוח (?), זוהי המטריקה של המרחב -?).
פונקציה לינארית; הם מהווים מרחב וקטורי, שנקרא: המרחב הדואלי, *V. יש להם בסיס, שנקרא: הבסיס הדואלי, $\epsilon _{i}$ .
המחשה ויזואלית של קו-וקטור: "קווי גובה", והתוצאה של הפעולה של קו-וקטור על וקטור היא: השינוי ב"גובה" שהוקטור עובר.

מס. 5

רכיבים של קו-וקטורים
(יש שגיאה ב-6:17 בכיוון ובריווח של קווי הקו-וקטור; תיקון)

קו-וקטורים הם אינוריאנטים (כמו וקטורים).
רכיבים של קו-וקטורים הם לא-אינווריאנטים.
רכיבים של קו-וקטורים משתנים באותו כיוון כמו סקלת הצירים (קו-ואריאנטים, אינדקסים למטה); רכיבי וקטורים משתנים בכיוון הפוך לסקלת הצירים (קונטרה-ואריאנטים, אינדקסים למעלה).
לכל קו-וקטור: $\alpha =\alpha _{1}\epsilon ^{1}+\alpha _{2}\epsilon ^{2}+...$ $\alpha =\alpha _{1}\epsilon ^{1}+\alpha _{2}\epsilon ^{2}+...$ יש רכיבים: α1, α2... בבסיס הדואלי: ε1,ε2... .
כל רכיב מתקבל, מהפעלת הקו-וקטור על וקטור-בסיס של v, כך: $\alpha ({\vec {e_{i}}})=\alpha _{i}$ $\alpha ({\vec {e_{i}}})=\alpha _{i}$ ; בדומה לרכיבים של v, שהם ה"מדידות" או ההיטלים של v על כל אחד מהצירים: $\epsilon ^{j}({\vec {v}})=v^{j}$ $\epsilon ^{j}({\vec {v}})=v^{j}$ .
במילים אחרות: "פעולת" קו-וקטור על וקטור v היא "מדידת" ההיטלים שלו על הצירים (המספר שהקו-וקטור מחזיר, על הוקטור, הוא סכום המכפלות של: רכיבי הוקטור [שהם ההיטלים של הוקטור על הצירים] (בבסיס כלשהו), כפול רכיבי הקו-וקטור בבסיס הדואלי (לבסיס) [שהם פעולות הקו-וקטור על כל אחד מוקטורי-הבסיס המדובר]): $\alpha ({\vec {v}})=\alpha _{1}v^{1}+\alpha _{2}v^{2}+...$ $\alpha ({\vec {v}})=\alpha _{1}v^{1}+\alpha _{2}v^{2}+...$ (זה דומה למכפלה פנימית).
- לכן פעולת קווקטור-בסיס (של *V) בציר j (שהוא εj) על v, "מודדת" ומחזירה את רכיב הוקטור באותו ציר: $\epsilon ^{j}({\vec {v}})=v^{j}$ .
- בהתאם, התוצאות של הפעלת כל הקו-וקטור α על וקטורי-הבסיס (של V) בכל ציר i - הם הרכיבים של הקו-וקטור α (לפי בסיס מסוים של V, בכל ציר i).
  - וכאמור, התוצאה של הפעלת α על וקטור v - היא הסקלר שהוא סכום המכפלות של רכיבי α ברכיבי v.
- אין קשר של דואליות בין v לבין α; יש קשר של דואליות בין הבסיס ei ל-V לבין הבסיס εj ל-*V, כך שקווקטורי-הבסיס הדואלי (ב-*V) הם הקווקטורים εj שמפיקים מוקטור v את רכיביו, בבסיס המקורי (ב-V), שהם ei.

מס. 6

כללי מעבר של קו-וקטורים

B מעבירה בסיס ישן לחדש, F מעבירה רכיבים ישנים לחדשים (הפוך מאשר וקטורים).

${\tilde {\vec {e_{j}}}}=\sum _{i}{F_{ij}{\vec {e_{i}}}};\;\;{\vec {e}}_{j}=\sum _{i}{B_{ij}{\tilde {{\vec {e}}_{i}}}}{\tilde {\epsilon ^{i}}}=\sum _{j}{B_{ij}\epsilon ^{j}};\;\;\epsilon ^{i}=\sum _{j}{F_{ij}{\tilde {\epsilon ^{j}}}}$ כלל: רכיבי הקו-וקטורים משתנים (F-קדימה) כמו בסיסי הוקטורים.

מס. 7

מפות-לינאריות
מוקטורים לוקטורים. הן טנזורי-(1,1), כי במעבר לבסיס אחר משתמשים ב-F וגם ב-B.

מס. 8

כללי מעבר של מפות-לינאריות
מטריצת המפה, בבסיס חדש: ${\tilde {L_{i}^{l}}}=\sum _{j}\sum _{k}{B_{k}^{l}L_{j}^{k}F_{i}^{j}}$

מס. 9

הטנזור המטרי
טנזור-(0,2): אינוריאנטי, אבל רכיביו משתנים במעבר בסיסים.

המטריצה המייצגת את הטנזור המטרי: $g_{\vec {e_{i}}}=[{\vec {e_{i}}}\cdot {\vec {e_{j}}}]_{\vec {e_{i}}}$ (למשל: ${\begin{bmatrix}{\vec {e_{1}}}\cdot {\vec {e_{1}}}&{\vec {e_{1}}}\cdot {\vec {e_{2}}}\\{\vec {e_{2}}}\cdot {\vec {e_{1}}}&{\vec {e_{2}}}\cdot {\vec {e_{2}}}\end{bmatrix}}_{\vec {e_{i}}}$ )
זוית בין כל 2 וקטורים: $cos(\theta )={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}}{\|{\vec {v}}\|\|{\vec {w}}\|}}={\frac {v^{i}w^{j}g_{ij}}{\|{\vec {v}}\|\|{\vec {w}}\|}}$
מעבר לרכיבים של הטנזור המטרי לפי בסיס חדש, ~: ${\tilde {g_{ij}}}=F_{i}^{k}F_{j}^{l}g_{kl}$ .

מס. 10

תבנית ביליניארית
תבנית ביליניארית: טנזור-(0,2).^[1]

קו-וקטור הוא תבנית לינארית, או: one-Form. טנזור מטרי הוא בעצם תבנית ביליניארית, אבל: (1) אפשר להפוך i,j שלא בהכרח אפשר בכל תבנית; (2) טנזור מטרי של אותו וקטור פעמיים - תמיד חיובי (ריבוע ה"אורך" או הנורמה), אבל זה לא בהכרח נכון לכל תבנית.
תבנית ביליניארית היא זוגות קווקטור-קווקטור: $B=B_{ij}\epsilon ^{i}\epsilon ^{j}=B_{ij}(\epsilon ^{i}\otimes \epsilon ^{j})$ ^[2]

מס. 11

מפה לינארית היא זוג של וקטור-קווקטור
כי כשכופלים רכיבי וקטור, ברכיבים של קו-וקטור מימינו - מקבלים מטריצה: ${\vec {v}}\alpha =v^{i}\alpha _{j}={\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v^{1}\alpha _{1}&v^{1}\alpha _{2}\\v^{2}\alpha _{1}&v^{2}\alpha _{2}\end{bmatrix}}=L_{j}^{i}$ , וזו יכולה להגדיר מפה לינארית: $L({\vec {w}})={\vec {x}};L_{j}^{i}w^{j}=x^{i}?$ (הסכימה היא על j, לכן נשאר רק i).

מס. 12

זוגות קווקטור-קווקטור

מס. 13

המכפלה הטנזורית, מכפלת קרונקר

מכפלה טנזורית (מסויימת; יש אחרות?) לוקחת 2 טנזורים שהם: וקטור וקו-וקטור, יוצרת טנזור שלישי שהוא מפה לינארית.
מכפלת קרונקר עושה אותו דבר, בהקשר אחר: לוקחת וקטור וקו-וקטור ויוצרת מטריצה (שאיבריה הם המקדמים של המפה הלינארית).

מס. 14

המכפלה הטנזורית. קומבינציה של וקטור/קו-וקטור

2 טנזורים חדשים: D (2,0); Q (1,2) f.
שני ייצוגים אפשריים למכפלה:

ייצוג איינשטיין ("מופשט"): $Q_{jk}^{i}D^{jk}orQ_{jk}^{i}D^{kb}or...,Q=Q_{jk}^{i}{\vec {e_{i}}}\epsilon ^{j}\epsilon ^{k}={\tilde {Q_{jk}^{i}}}{\tilde {\vec {e_{i}}}}{\tilde {\epsilon ^{j}}}{\tilde {\epsilon ^{k}}}$ יתרון: בטנזורים מסדרים גבוהים, ברור יותר מי הם הוקטורים והקו-וקטורים (לעומת ייצוג ויזואלי במספר ממדים, שהם הולכים לאיבוד); וברור מי כופל את מי קודם.
מערך: ${\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}Q_{11}^{1}\\Q_{11}^{2}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Q_{21}^{1}\\Q_{21}^{2}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}Q_{12}^{1}\\Q_{12}^{2}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Q_{22}^{1}\\Q_{22}^{2}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}D^{11}\\D^{21}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}D^{12}\\D^{22}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}$ יתרון: אופן ההכפלה יותר ברור, אבל רק בסדרים נמוכים.

מס. 15

מרחבי מכפלה טנזורית
מכפלה טנזורית. הסימן $\otimes$

מכפלת קרונקר (מצרפת מערכים): ${\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}\end{bmatrix}}$
מכפלה טנזורית של טנזורים (מצרפת טנזורים): ${\vec {v}}\otimes \alpha ;\;\;L_{j}^{i}({\vec {e_{i}}}\otimes \epsilon ^{j})$
מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים: $V\otimes V^{*}$ ; המכפלה גם היא מרחב וקטורי, שכל איבר בו הוא טנזור (1,1), כלומר מדרגה 2: צירוף לינארי של וקטור וקו-וקטור ^[3]. כפי שהוסבר ב-11, מכפלת וקטור בקו-וקטור מימינו יוצרת מטריצה $L_{j}^{i}$ $L_{j}^{i}$ , וזו יכולה לייצג את הטנזורים הבאים:
- פונקציה מוקטור לוקטור, $L:V\rightarrow V$ (כלומר מפה לינארית): $L_{j}^{i}v^{j}=w^{i}$
- מקו-וקטור לקו-וקטור, $L:V^{*}\rightarrow V^{*}$ (מפה): $L_{j}^{i}\alpha _{i}=\beta _{j}$
- מזוגות וקטור-קווקטור לסקלר: $L:V\times V^{*}\rightarrow \mathbb {R}$ , או: $L_{j}^{i}v^{j}\alpha _{i}=s$
- או בסדר סכימה הפוך: $L:V^{*}\times V\rightarrow \mathbb {R}$ , או: $L_{j}^{i}\alpha _{i}v^{j}=s$
מכפלה טנזורית של מרחבי קו-וקטורים: $V^{*}\otimes V^{*}$ ; המכפלה היא מרחב וקטורי, שכל איבר בו הוא טנזור (0,2) (דרגה 2): צירוף לינארי של קו-וקטור וקו-וקטור (לא מכפלה אלא צירוף, combination, כך שבמקום מטריצה L, הפעולה שלהם B תהיה הכפלה מימין בוקטור, או בשניים ^[2]). בדומה למעלה, טנזור כזה יכול להיות:
- פונקציה $L:V\times V\rightarrow \mathbb {R}$ (כלומר תבנית בילינארית): $B_{ij}v^{i}w^{j}=s$ ^[2]
- סכימה על i, כך: $L:V\rightarrow V^{*}$ , או: $B_{ij}v^{i}=\alpha _{j}$
- סכימה על j, כך: $L:V\rightarrow V^{*}$ , או: $B_{ij}v^{j}=\beta _{i}$

מס. 16

אינדקסים

אפשר למצוא לכל וקטור $v\in V$ $v\in V$ את תאומו ב-*V, ע"י הפעלה של הטנזור המטרי, על v, בלי להציב את הוקטור השני: $f({\vec {v}})=f(v^{j}{\vec {e_{j}}})=g({\vec {v}},\Box )={\vec {v}}\cdot \Box =g_{ij}v^{j}\epsilon ^{i}=v_{i}\epsilon ^{i}={\tilde {v_{i}}}{\tilde {\epsilon ^{i}}}$ $f({\vec {v}})=f(v^{j}{\vec {e_{j}}})=g({\vec {v}},\Box )={\vec {v}}\cdot \Box =g_{ij}v^{j}\epsilon ^{i}=v_{i}\epsilon ^{i}={\tilde {v_{i}}}{\tilde {\epsilon ^{i}}}$ .
- פירוט: פעולת הטנזור המטרי עם וקטור מסויים v על וקטור כלשהו w מהווה קו-וקטור (שהוא "תאומו" של v), כי פעולה זו היא פונקציה שפועלת על w, ומחזירה סקלר. ^[4]
- הפעולה, שמתאימה לוקטור את הקו-וקטור התואם לו - היא ה"ירידה" באינדקסים: $g_{ij}v^{j}=v_{i}$ ; משמעות הירידה (גבוה = רכיב של וקטור, נמוך = רכיב של קו-וקטור): הטנזור המטרי g (הקו-וריאנטי), בפעולתו על וקטור יחיד כלשהו w (וזאת באמצעות הוקטור המסויים v), מהווה קו-וקטור; אפשר לראות את הטנזור-המטרי כזוג קו-וקטורים ( $g\in V^{*}\otimes V^{*}$ ), שהפעלתם בזה אחר זה, על וקטור אחד, מהווה קו-וקטור: $g_{ij}v^{j}=v_{i}$ ; או: הצירוף-של-הטנזור-המטרי-g-עם-הוקטור-המסוים-v - פועל על w ומחזיר סקלר, כלומר: צירוף זה הוא קו-וקטור.
  g, בשימוש הזה (על הוקטור היחיד v), ממיר וקטור (v שלרכיביו יש אינדקס גבוה) לקו-וקטור (v עם אינדקס נמוך). ^[4]
- הטנזור המטרי ההפוך 𝔤 (הקונטרה-וריאנטי) מעלה אינדקסים: ${\mathfrak {g}}^{ki}g_{ij}=\delta _{i}^{k}={\tilde {{\mathfrak {g}}^{ki}}}{\tilde {g_{ij}}};\;\;{\mathfrak {g}}^{ij}v_{j}=v^{i}$ ; משמעותו: מהווה פעולה הופכית לטנזור המטרי (g×𝔤=I, מטריצת היחידה; ${\mathfrak {g}}^{ki}g_{ij}=\delta _{j}^{k}$ ); כלומר, בפעולתה על קו-וקטור יחיד, היא מהווה וקטור (ואחרת, ניתן לראותה כזוג וקטורים, ${\mathfrak {g}}\in V\otimes V$ ).
ככלל, הורדה והעלאה של אינדקסים: $Q_{jk}^{i}\in V\otimes V^{*}\otimes V^{*};\;\;Q_{jk}^{i}{\mathfrak {g}}^{jx}=Q_{k}^{ix};\;\;Q_{k}^{ix}\in V\otimes V\otimes V^{*};\;\;D^{ab}g_{ax}={D_{x}}^{b}\;$ $Q_{jk}^{i}\in V\otimes V^{*}\otimes V^{*};\;\;Q_{jk}^{i}{\mathfrak {g}}^{jx}=Q_{k}^{ix};\;\;Q_{k}^{ix}\in V\otimes V\otimes V^{*};\;\;D^{ab}g_{ax}={D_{x}}^{b}\;$
- (מויקיפדיה:) לכל וקטור ${\vec {v}}$ אפשר להתאים את הקו-וקטור (פונקציונל) ${\tilde {v}}$ באופן הזה:
  $\ {\tilde {v}}({\vec {w}})=g\left(v^{\mu }{\hat {e}}_{\mu },w^{\nu }{\hat {e}}_{\nu }\right)=g_{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }$ (כלומר: מתאימים לוקטור v את הקו-וקטור v המסויים, שפעולתו על וקטור כלשהו w שווה לפעולת המטריקה g על הוקטורים w ו-v);
  כעת, את הפעולה של קו-וקטור כלשהו β על וקטור w ניתן תמיד לרשום כך: ${\tilde {\beta }}({\vec {w}})=\beta _{\nu }w^{\mu }$ ,
  ולקבל: ${\tilde {v}}({\vec {w}})=v_{\nu }w^{\mu }(=g_{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu })$ ,
  ומכאן יוצא, שהרכיבים של הקו-וקטור v הם: $({\tilde {v}})_{\nu }=v_{\nu }=g_{\mu \nu }v^{\mu }$ ; רואים, שפעולת הטנזור המטרי g הביאה לביטול (Tensor contraction) האינדקס μ, ול"הורדה" של האינדקס $\nu$ ; לכן פעולת ההתאמה של קו-וקטור לוקטור נקראת "הורדת אינדקסים". המשמעות: הפעולה של g המירה רכיבים של וקטור (אינדקסים למעלה) לרכיבים מתאימים (דואליים-?) של קו-וקטור (= אינדקסים למטה); כך g "מורידה" אינדקסים.
  כל הורדה של אינדקס (= תוספת אינדקס קו-ואריאנטי) הופכת טנזור מסדר (m,n) לטנזור מסדר (m-1, n+1).

- דוגמה: הורדה והעלאה של אינדקסים#דוגמה - הגרדיאנט: גרדיאנט הוא פעולה על שדה סקלרי, שתוצאתה היא שדה וקטורי. אפשר להתייחס לגרדיאנט עצמו כאל וקטור (תוספות שלי): ש
  $\operatorname {grad} f={\vec {\nabla }}\equiv {\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\equiv (\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})\color {red}\equiv \partial ^{\mu }{\vec {e}}_{\mu }={\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}{\vec {e}}_{\mu }$ .
  פעולת ההכפלה של הגרדיאנט ב-g (המטריקה של המרחב הוקטורי - שאליו שייך הגרדיאנט-?), ממירה את רכיביו לרכיבים של הפונקציונל df (הנקרא דיפרנציאל), שאותו אפשר לראות כקו-וקטור; כלומר, ההכפלה הורידה את האינדקסים, מאידקסים עליונים ב-ᐁf, לתחתונים ב- df (במערכת ייחוס אורתונורמלית: g=I, ורכיבי הוקטור והפונקציונל - זהים-?^[5]).
  בכיוון ההפוך: ההכפלה של df במטריקה ההפוכה ${\mathfrak {g}}=g^{-1}$ ממירה את רכיבי הדיפרנציאל לרכיבי הוקטור, כלומר מעלה את האינדקסים:
  ${\vec {\nabla }}f={\mathfrak {g}}^{\mu \nu }(df)_{\nu }\color {red}{\vec {e}}_{\mu }={\mathfrak {g}}^{\mu \nu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\nu }}}{\vec {e}}_{\mu }=\partial ^{\mu }{\vec {e}}_{\mu }$ .

דימוי מוזיקלי. הקו-וקטור הוא כמו פונקצית "השטחה" (flat, במול): ${\vec {v}}\cdot \Box =v^{i}{\vec {e_{i}}}\cdot \Box =\flat {\vec {v}}=v_{i}\epsilon ^{i}$ (הקו-וקטור מוריד את הצליל בחצי-טון, "משטח" אותו); והוקטור הוא כמו פונקצית "חידוד" (sharp, דיאז, מעלה את הצליל): $\alpha ={\vec {a}}\cdot \Box ={\mathfrak {g}}(\alpha ,\Box )$ ; $\alpha \mapsto {\vec {a}};\;\;\sharp \alpha =\alpha ^{i}{\vec {e_{i}}}=\alpha _{i}\epsilon ^{i}$ ; לכן פעולת הורדה או העלאה נקראת גם (Musical isomorphism).

סוגים של טנזורים
טנזור	מאפיין	סוג	דרגה
סקלר	מספר	(0,0)?	0
וקטור	איבר במרחב וקטורי	(1,0)	1
מטריצה	-"-	(2,0)?	2
קו-וקטור	איבר במרחב וקטורי (הדואלי)	(1,0)	1
מפה לינארית	פונקציה מוקטור לוקטור	(1,1)	2
טנזור מטרי^[6]^[7]	פונקציה מזוגות של וקטורים - לסקלר	(0,2)	2?
תבנית בילינארית^[7]	זוגות של קווקטור-קווקטור	(0,2)	2?

לקריאה

הערות

^ כללית: טנזור עם m-contravariant, n-covariant הוא (Tensor-(m,n.
^ ¹ ² ³ למען הסדר, B לא נכתבת כמטריצה (אחרת הפעלתה על שני וקטורים - תצריך לכתוב אחד מהם כשורה ולא כעמודה), אלא כשורה של שורות: $B({\vec {v}},{\vec {w}})={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\end{bmatrix}}=({\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\end{bmatrix}}v^{1}+{\begin{bmatrix}B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}}v^{2}){\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\end{bmatrix}}=B_{11}v^{1}w^{1}+B_{12}v^{1}w^{2}+B_{21}v^{2}w^{1}+B_{22}v^{2}w^{2}=B_{ij}v^{i}w^{j}$
^ (Tensor product#Notation)
^ ¹ ² הסימן $\Box$ משמש כאן בגלל ההשמטה של הוקטור השני, שאחרי המכפלה סקלרית. ראו: הורדה והעלאה של אינדקסים#הורדה והעלאה של אינדקסים
^ (Gradient#General coordinates)
^ מקרה פרטי של תבנית בילינארית
^ ¹ ² התבנית היא זוג קו-וקטורים, שיוצרים את המטריצה המייצגת; הפעלתה על שני וקטורים בזה-אחר-זה - יוצרת סקלר.

[1] כללית: טנזור עם m-contravariant, n-covariant הוא (Tensor-(m,n.

[תבנית_זוגות-2] ¹ ² ³ למען הסדר, B לא נכתבת כמטריצה (אחרת הפעלתה על שני וקטורים - תצריך לכתוב אחד מהם כשורה ולא כעמודה), אלא כשורה של שורות: $B({\vec {v}},{\vec {w}})={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\end{bmatrix}}=({\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\end{bmatrix}}v^{1}+{\begin{bmatrix}B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}}v^{2}){\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\end{bmatrix}}=B_{11}v^{1}w^{1}+B_{12}v^{1}w^{2}+B_{21}v^{2}w^{1}+B_{22}v^{2}w^{2}=B_{ij}v^{i}w^{j}$

[3] (Tensor product#Notation)

[משהו-4] ¹ ² הסימן $\Box$ משמש כאן בגלל ההשמטה של הוקטור השני, שאחרי המכפלה סקלרית. ראו: הורדה והעלאה של אינדקסים#הורדה והעלאה של אינדקסים

[5] (Gradient#General coordinates)

[6] מקרה פרטי של תבנית בילינארית

[תבנית-7] ¹ ² התבנית היא זוג קו-וקטורים, שיוצרים את המטריצה המייצגת; הפעלתה על שני וקטורים בזה-אחר-זה - יוצרת סקלר.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

	דף זה אינו ערך אנציקלופדי
	דף זה הוא טיוטה של Avneref.

דף זה אינו ערך אנציקלופדי
דף זה הוא טיוטה של Avneref.