משתמש:2Exciton/פעולה גיאומטרית

פונקציית הפעולה הגיאומטרית היא פונקצייה המגדירה מרחקים באופן אינפיניטיסימלי במרחב זמן עקום, היא המקבילה של פונקציית הלגראנג'יאן ביחסות מורחבת.

הפעולה הגיאומטרית היא סכימה של פונקציית הפעולה הגיאומטרית על קו עולם של גוף במרחב זמן (ובכך היא מתפקדת כפעולה). באמצעות הפעולה הגיאומטרית מוצאים את חוקי הדינמיקה ביחסות מורחבת.

הפעולה הגיאומטרית הינה רעיון בסיסי בתורת היחסות המורחבת, והינה התגשמות החזון של רימן שיהיה ניתן להחליף את מושג הכח בשינויים בגיאומטריה של המרחב.

הגדרה

נגדיר פרמטר כלשהו $\sigma$ איתו משתנה המסלול, (חשוב להדגיש, לפרמטר זה אין תכונה מיוחדת) ובאמצעותו נגדיר את ה4-מהירות:

$$u\equiv {\frac {dx}{d\sigma }}$$$x$ הינו 4-מקום.

נבחר 2 נקודות על המסלול:

$P=x,Q=x+ud\sigma$

ההגדרה של פונקציית הפעולה הגיאומטרית תהייה:

$$L(x,u)=\lim _{d\sigma \rightarrow 0}{\frac {distance(P,Q)}{d\sigma }}$$כאשר הפונקצייה $distance()$ היא המרחק בין שתי נקודות במרחב-זמן עקום (מרחב הגוף).

הפעולה הגיאומטרית מוגדרת:

$$S[{\textbf {x}}(\sigma )]\equiv \int _{\sigma _{1}}^{\sigma _{2}}L\left({\textbf {x}}(\sigma ),{\frac {d{\textbf {x}}(\sigma )}{d\sigma }}\right)d\sigma$$

מציאת פונקציית הפעולה הגיאומטרית

הדרישות אותם פונקציית הפעולה הגיאומטרית צריכה לקיים:

• על מנת שחוקי הפיזיקה יהיו זהים בכל מערכות הייחוס, היא צריכה להיות פונקציה סקלרית הנשמרת ביחס לטרנספורמציית לורנץ.
• על מנת להיות בלתי תלויה בפרמטר $\sigma$ , היא צריכה להיות פונקציה הומוגנית חיובית מסדר ראשון במשתנה $u$:

$$L(x,bu)=bL(x,u)\;\;\;,b>0$$

• כאשר עוצמת השדות שואפת לאפס אמור להתקיים $L(x,u)={\sqrt {\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}}$ , כמו במרחב ריק משדות.
• פונקציה התלויה בעוצמת המקורות של השדות המשפיעים על הגוף ובתכונות הגוף.

פונקציות סקלריות אינווריאנטיות לורנץ נוצרות מהפונקציות הסקלריות:

$$A_{\mu }u^{\mu },\;\;\;g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu },\;\;\;f_{\mu \nu \alpha }u^{\mu }u^{\nu }u^{\alpha }$$

על מנת לקיים את חוסר התלות בפרמטר נסתכל על פונקציות מהצורה:

$$A_{\mu }u^{\mu },\;\;\;{\sqrt {g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}},\;\;\;{\sqrt[{3}]{f_{\mu \nu \alpha }u^{\mu }u^{\nu }u^{\alpha }}}$$

כיוון שהשדות עליהם מדובר הינם השדה הגריבטציוני והשדה האלקטרו-מגנטי אפשר להסתפק בביטוי מהצורה:

$$L(x,u)={\sqrt {\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }-k_{1}g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}}\pm k_{2}A_{\mu }u^{\mu }$$

כפי שנראה בהמשך $g_{\mu \nu }$ מייצג את הפוטנציאל הגרביטציוני, ו$A_{\mu }$ מייצג את ה4-וקטור של הפוטנציאל החשמלי.

הקבועים $k_{1},k_{2}$ מייצגים את חוזק השדות ביחס לגוף. בגלל שקילות המסה ההתמדית והמסה הכבידתית $k_{1}$ יהיה זהה עבור כל הגופים, ולכן בוחרים אותו כך $k_{1}=1$.

$k_{2}$ יהיה היחס בין ההתנגדות של הגוף לבין המשיכה של הגוף לשדה, כלומר $q/m$.

כאשר השדות שואפים ל-0 מקבלים $L(x,u)={\sqrt {\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}}$ כפי הדרישה. בנוסף לאחר מכן יש מינוס כדי שלא תהייה אופציה לעבור את מגבלת מהירות האור.

בתורת היחסות המורחבת מקטינים את המימד של $g_{\mu \nu }$ ל-$(l_{\mu })^{2}$ כיוון שהניסויים מאפשרים זאת, ובנוסף מבדיקה ביחס לתופעות בפיזיקה מקבלים שמתקבל פלוס ולא מינוס לפני הפוטנציאל החשמלי. ולכן מקבלים לבסוף:

$$L(x,u)={\sqrt {\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }-(l_{\mu }u^{\mu })^{2}}}+{\frac {q}{m}}A_{\mu }u^{\mu }$$