תיאור פרמטרי של עקום

דוגמה לעקומה המתוארת על ידי משוואה פרמטרית היא עקומת פרפר טרנסצנדנטלית

באנליזה, ובפרט בגאומטריה דיפרנציאלית, תיאור פרמטרי של עקום הוא תיאור מפורש של משתני העקום באופן התלוי בפרמטר, במקום תיאור הנתון על ידי פונקציה סתומה. המעבר מתיאור של עקום על ידי תיאור מילולי או על ידי משוואה יחידה לתיאור פרמטרי נקרא "פרמטריזציה".

משוואות פרמטריות של עקומים משמשות במספר ענפים במתמטיקה ובפיזיקה, לעיתים כשהן מחליפות את התיאור הסתום של העקום. אחד הענפים בו נעשה שימוש רב בפרמטריזציה של עקומים הוא אנליזה וקטורית, למשל לצורך חישובו של אינטגרל קווי. בקינמטיקה עושים שימוש במשוואה פרמטרית כאשר קובעים את הקואורדינטות, מהירות וכל מידע אחר הנוגע לגוף המצוי בתנועה.

דוגמאות

המשוואה הפשוטה ביותר עבור פרבולה היא

$y=x^{2}$

משוואה זו יכולה לעבור פרמטריזציה (תהליך שבו מוסף לה פרמטר כלשהו) באמצעות שימוש בפרמטר החופשי $t$, ולפיכך ניתן לקבוע כי

$x=t,\,y=t^{2}$

כמובן ששימוש זה בפרמטר לא יעזור לנו כלל וכלל, כיוון שהיא משאירה אותנו באותו המצב רק עם אות אחרת. לעומת זאת, אם ניקח את הפונקציה הדו-ריבועית הבאה:

$y=x^{4}+x^{2}+1$

נוכל לפשט את המשוואה על ידי שימוש ב-$t$:

$t=x^{2},\,y=t^{2}+t+1$

זהו תיאור בכלים ריבועיים, שהוא הרבה יותר קל.

על אף שהדוגמה שלמעלה נראית טריוויאלית, יש להשוותה מול הפרמטריזציה של המעגל בעל הרדיוס $a$:

$x=a\cos(t),\,y=a\sin(t)$

כדי לתאר עקומות במרחבים מרובי ממדים נוח להשתמש במשוואות פרמטריות. לדוגמה:

$x=a\cos(t),\,y=a\sin(t),\,z=bt$

מתארת עקומה במרחב תלת-ממדי, שצורתה היא סליל בעל רדיוס $a$ העולה ב-$2\pi b$ יחידות עבור כל סיבוב.

ביטויים כגון אלו שלמעלה נכתבים בדרך כלל בצורה הבאה:

$${\begin{matrix}r(t)={\bigl (}x(t),y(t),z(t){\bigr )}={\bigl (}a\cos(t),a\sin(t),bt{\bigr )}\\\\r(t)={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\cos(t)\\a\sin(t)\\bt\end{bmatrix}}\end{matrix}}$$

דרך זו לביטוי עקומות היא מעשית ויעילה; לדוגמה, ניתן לבצע אינטגרציה וגזירה של עקומות כאלה במקביל. באופן זה, ניתן לתאר את המהירות של חלקיק בעקבות תהליך הפרמטריזציה כך:

$$v(t)=r'(t)={\bigl (}x'(t),y'(t),z'(t){\bigr )}={\bigl (}-a\sin(t),a\cos(t),b{\bigr )}$$

ואת התאוצה באופן הזה:

$$a(t)=r''(t)={\bigl (}x''(t),y''(t),z''(t){\bigr )}={\bigl (}-a\cos(t),-a\sin(t),0{\bigr )}$$

באופן כללי, עקומה פרמטרית היא פונקציה של פרמטר עצמאי אחד. הרעיון המקביל של שניים (או יותר) פרמטרים עצמאיים נקרא משטח פרמטרי.

המרה של שתי משוואות פרמטריות למשוואה אחת

המרה של קבוצת משוואות פרמטריות למשוואה אחת כוללת את מציאת הפתרון של אחת המשוואות (בדרך כלל הפשוטה מביניהן) עבור הפרמטר. לאחר מכן, הפתרון של הפרמטר מוכנס למשוואה שנותרה, והתוצאה של התהליך הזה היא פישוט המשוואה שהתקבלה. הפרמטר אף פעם לא קיים כאשר המשוואה היא יחידה (כלומר, הוא חייב "להתבטל" במהלך ההמרה), ובמילים אחרות: חובה לפתור את המשוואות הסימולטניות עבור הפרמטר, והתוצאה תהיה משוואה אחת. במקרה שיש מגבלות על הערך שהפרמטר יכול לקבל, יש צורך לבצע פעולות נוספות.

ראו גם

• גאומטריה דיפרנציאלית של עקומות
• עקום בזייה

קישורים חיצוניים

• תיאור פרמטרי של עקום, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• תיאור פרמטרי של עקום, באתר MathWorld (באנגלית)