משפט קריין-מילמן

משפט קריין-מילמן הוא משפט באנליזה פונקציונלית העוסק בתכונות של קבוצות קמורות במרחב וקטורי טופולוגי. ממקרה פרטי של המשפט נובע שכל מצולע קמור נקבע על ידי הקודקודים שלו - כלומר מספיק לדעת את קודקודי המצולע כדי לקבוע את צורתו באופן יחיד. תוצאת המשפט אינה נכונה כאשר לא מגבילים את המצולע להיות קמור, כיוון שניתן לצייר מספר מצולעים שונים (לא קמורים) שיש להם אותם קודקודים. המשפט הוכח על ידי מארק קריין ודוד מילמן.

תיאור המשפט

באופן פורמלי: אם X מרחב וקטורי טופולוגי (האוסדורף) קמור מקומית, ו-K היא תת-קבוצה קמורה וקומפקטית של X, אז K הוא הסגור של הקמור של קבוצת הנקודות הקיצוניות שלו:

$K=Cl(conv(ext(K))$

כאשר עבור קבוצה קמורה A, נקודה קיצונית היא נקודה בקבוצה שאיננה נמצאת ב"אמצע" בין שתי נקודות בקבוצה A, או באופן פורמלי: $x\in A$ נקודה קיצונית אם לכל $0<\lambda <1,a,b\in A$ מתקיים $x\neq \lambda a+(1-\lambda b)$.

כיוון אחד של המשפט הוא ברור - אוסף הנקודות הקיצוניות של K הוא תת-קבוצה של K. K קמורה ולכן הקמור שלו מוכל ב-K. K קומפקטית, ובפרט סגורה, ולכן הסגור של הקמור מוכל ב-K. הכיוון המעניין הוא הכיוון ההפוך - משפט קריין-מילמן טוען שלכל קבוצה קומפקטית קמורה K יש מספיק נקודות קיצוניות כדי שניתן יהיה לשחזר אותה מתוכן.

המשפט המקורי (בגרסה מעט פחות כללית מהגרסה הזו) הוכח על ידי מרק קריין ודוד מילמן. מינקובסקי הראה לפניהם שבכל מרחב מממד סופי K הוא הקמור של הנקודות הקיצוניות שלו. קריין ומילמן הראו שכדי להרחיב את התוצאה למרחבים אינסופיים יש להוסיף את הסגור.

הוכחת המשפט

כמו שנאמר למעלה ההכלה $\supset$ ברורה. נותר להוכיח את הכיוון השני.

ראשית נראה שיש ל-K נקודות קיצוניות. נגדיר פאה של K להיות תת-קבוצה קמורה $K_{1}\neq \emptyset$ המקיימת $tx+(1-t)y\in K_{1}\Rightarrow x,y\in K_{1}\forall x,y\in K,t\in (0,1)$, כלומר כל צירוף קמור הנמצא ב-$K_{1}$ נוצר על ידי איברים מ $K_{1}$. נשים לב שמההגדרה, נקודה קיצונית היא פאה המכילה נקודה אחת. יהי $\Omega$אוסף הפאות של K. נשים לב כי $\Omega \neq \emptyset$ כיוון ש-K היא פאה של עצמה. חיתוך של סדרה יורדת של פאות הוא פאה (החיתוך לא ריק מקומפקטיות) ולכן מהלמה של צורן יש פאה מינימלית $K_{1}$. נראה כי $K_{1}$ מכילה נקודה אחת. אחרת, ממשפט האן-בנך נקבל שקיים פונקציונל ליניארי רציף ממשי $\phi$ על X שאינו קבוע על $K_{1}$. הקבוצה $K_{0}:=\{x\in K_{1}|\phi (x)=\max _{y\in K_{1}}\phi (y)\}$היא פאה של $K_{1}$ולכן של $K$המוכלת ממש ב-$K_{1}$, בסתירה להנחה.

כעת נראה את ההכלה $\subset$. יהי $K'=Cl(conv(ext(K))$ נניח בשלילה כי $K\setminus K'\neq \emptyset$. ממסקנה ממשפט האן בנך קיים פונקציונל ליניארי ממשי רציף $\phi$ כך שמתקיים $\sup _{x\in K'}\phi (x)<\sup _{x\in K}\phi (x)$. נגדיר קבוצה $K_{1}:=\{y\in K|\phi (y)=\sup _{x\in K}\phi (x)\}$. מתקיים $K_{1}\cap K'=\emptyset$אבל $K_{1}$ פאה סגורה (ולכן קומפקטית) של K ומהחלק הראשון נקבל ש $ext(K_{1})$ אינו ריק. אבל אז ${\ce {ext(K_{1})\subset ext(K)\subset K'}}$, בסתירה להנחה.

תוצאות נוספות

• למשפט קריין מילמן יש את הבעיה שהסגור של הנק' הקיצוניות עלול להיות הרבה יותר גדול מהנק' הקיצוניות לכן יש עניין במשפט של גוסטב שוקת (Choquet) שטוען שבמקרים מאוד כלליים, ניתן לבנות מידת רדון המקיימת, בין השאר כי התומך שלה הוא נק' הקיצון של K. תוצאה ממשפט זה היא, למשל, משפט הפירוק הארגודי.
• למשפט קריין מילמן יש משפט "הפוך", משפט מילמן: נניח ש X תת-קבוצה קומפקטית קמורה של מרחב קמור מקומית ו $Z\subset X$כך ש $X=Cl(conv(Z))$. אז הנק' הקיצוניות של X מוכלות בסגור של Z.

לקריאה נוספת

• רוברט פלס, הרצאות על תורת שוקת ,הוצאת ספרינגר 2001.
• וויס בנימין, ליינדרשטראוס יורם, פזי אמנון, אנליזה פונקציונלית, האוניברסיטה העברית 1980.