משפט קלאוזיוס

משפט קלאוזיוס (המכונה גם "אי השוויון של קלאוזיוס") הוא עיקרון בתרמודינמיקה הקובע כי עבור מערכת תרמודינמית , כגון מנוע חום או משאבת חום, המחליפה חום עם מאגרים תרמיים חיצוניים ועוברת תהליך מחזורי , מתקיים אי השוויון הבא:

$-\oint dS_{\text{Res}}=\oint {\frac {\delta Q}{T_{\text{surr}}}}\leq 0,$

כאשר $\oint dS_{\text{Res}}$ מייצג את השינוי של האנטרופיה עם הסביבה במהלך תהליך תרמודינמי, $\delta Q$ הוא החום המועבר בין המערכת למאגרים החיצוניים ($\delta Q>0$ כאשר חום נספג במערכת, ו-$\delta Q<0$ כאשר חום נפלט החוצה), ו-$T_{\text{surr}}$ היא הטמפרטורה של המאגרים בזמן נתון.

המשמעות העקרונית של המשפט היא כי האנטרופיה של הסביבה תמיד תישאר קבועה או תגדל בתהליך תרמודינמי, אך לא תוכל להצטמצם, להלן המשוואה: $\oint dS_{\text{Res}}\geq 0$.

במקרים בהם יש אינטראקציה עם מספר מאגרי חום בעלי טמפרטורות שונות, $\left(T_{1},T_{2},\dots ,T_{N}\right)$, ניתן להכליל את המשפט ולבטא אותו כך:

$-\oint dS_{\text{Res}}=\oint \left(\sum _{n=1}^{N}{\frac {\delta Q_{n}}{T_{n}}}\right)\leq 0.$

כאשר $\delta Q_{n}$ הוא כמות החום המועברת מהמאגר $n$ למערכת.

משפט קלאוזיוס הוא תוצאה של יישום החוק השני של התרמודינמיקה על תהליך העברת חום אינפיניטסימלי. המשפט קובע, כי אין אפשרות לבנות מכשיר אשר פעולתו היחידה תהיה העברת חום ממאגר קריר למאגר חם. בהתאם לכך, חום זורם באופן ספונטני מגוף חם לגוף קר יותר, ולא להפך.

היסטוריה

משפט קלאוזיוס הוא ייצוג מתמטי של החוק השני של התרמודינמיקה, שפותח על ידי הפיזיקאי רודולף קלאוזיוס. המשפט מתאר את הקשר בין זרימת החום במערכת לבין השינוי באנטרופיה של המערכת וסביבתה. קלאוזיוס פיתח את המשפט במסגרת מאמציו להגדיר את האנטרופיה באופן כמותי ולהבהיר את משמעות החוק השני של התרמודינמיקה.

רודולף קלאוזיוס היה מחלוצי המחקר בתחום האנטרופיה ואף טבע את המונח עצמו. המשפט הקרוי על שמו, משפט קלאוזיוס, פורסם לראשונה בשנת 1862 בספר הזיכרונות השישי שלו, "על היישום של משפט ההשוואה של טרנספורמציות לעבודה פנימית".

במסגרת מחקרו, קלאוזיוס ביקש להדגים את הקשר הפרופורציונלי בין האנטרופיה לבין זרימת האנרגיה כתוצאה מהכנסת חום ($\delta Q$) לתוך מערכת. בתוך מערכת תרמודינמית, אנרגיית חום זו יכולה להפוך לעבודה, ועבודה יכולה להפוך חזרה לחום באמצעות תהליך מחזורי. קלאוזיוס ציין כי "הסכום האלגברי של כל השינויים המתרחשים בתהליך מחזורי יכול להיות קטן מאפס או שווה לאפס", להלן המשוואה:

$\oint {\frac {\delta Q}{T}}=0$

כאשר $\delta Q$ הוא החום המועבר למערכת, ו-$T$ היא הטמפרטורה המוחלטת של המאגר. המשוואה מתייחסת לתהליך הפיך שבו הסכום הכולל של האנרגיה המועברת במערכת שווה לאפס.

בהמשך, קלאוזיוס הרחיב את רעיונותיו והראה כי עבור כל תהליך מחזורי, בין אם הוא הפיך או לא, מתקיים אי-השוויון של קלאוזיוס:

$\oint {\frac {\delta Q}{T_{\text{surr}}}}\leq 0$

כאשר $\delta Q$ הוא כמות החום המועברת מהמאגר אל המערכת, ו-$T_{\text{surr}}$ היא טמפרטורת הסביבה בזמן נתון.

לפי החוק השני של התרמודינמיקה, האנטרופיה היא פונקציית מצב, כלומר היא תלויה רק במצב הסופי של המערכת ואינה מושפעת מהדרך שבה המערכת הגיעה אליו. זאת בניגוד לכמויות החום ($\delta Q$) והעבודה ($\delta W$) שהתווספו למערכת, אשר עשויות להשתנות בהתאם לנתיב התהליך.

בתהליך מחזורי, מאחר שהאנטרופיה היא פונקציית מצב, ערכה בתחילת המחזור ובסופו חייב להיות זהה ($\Delta S=0$), ללא תלות בשאלה אם התהליך הפיך או בלתי הפיך. עם זאת, בתהליכים בלתי הפיכים, כמות האנטרופיה הכוללת של מאגרי החום שסביב המערכת עולה. לעומת זאת, בתהליכים הפיכים, אין שינוי באנטרופיה של המאגר.

אם ניתן למדוד את כמות החום שהתווספה למערכת ואת הטמפרטורה במהלך התהליך, ניתן להשתמש באי-השוויון של קלאוזיוס כדי לקבוע אם התהליך הוא הפיך או בלתי הפיך. אם החישוב מראה שהשינוי באנטרופיה הוא אפס, מדובר בתהליך הפיך. אם התוצאה חיובית, מדובר בתהליך בלתי הפיך. ערך שלילי אינו אפשרי, מאחר שהוא היה מפר את החוק השני של התרמודינמיקה.

הוכחה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

ראו גם

• החוק השני של התרמודינמיקה
• משפט קרנו (תרמודינמיקה)