משפט פיוצ'רמה

משפט פיוצ'רמה הוא משפט מתמטי שנהגה והוכח על ידי קן קילר, אחד ממפיקי סדרת הטלוויזיה פיוצ'רמה, כדי לפתור בעיה שהתעוררה במהלך עלילת הסדרה.

רקע

הוכחת המשפט שהוצגה לצופים במהלך הפרק

המשפט פותר בעיה שמטרידה את דמויות הסדרה בפרק "The Prisoner of Benda" (פרק 10 בעונה 6). בתחילת הפרק פרופסור פארנסוורת' ואיימי וונג ממציאים מכונה מחליפת גופים. אל המכונה מתחברים שני אנשים, והיא מחליפה בין גופיהם, כך שהתודעה של כל אחד שולטת בגופו של השני.

איימי והפרופסור מנסים את המכונה על עצמם ומחליפים ביניהם את גופיהם. אולם כאשר הם מנסים להחליף בחזרה, הם מגלים שלמכונה יש מגבלה. היא אינה מסוגלת להחליף בין שני גופים שכבר החליפו ביניהם בעבר. בניסיון לפתור את הבעיה הם מערבים גוף שלישי, את גופו של בנדר. בנדר מחליף עם הגוף של איימי (המכילה את תודעת הפרופסור), אך במהרה הם מבינים שהבעיה נותרת בעינה. אם עכשיו הגוף של בנדר יחליף עם הגוף של הפרופסור, תודעת הפרופסור תחזור למקומה, אבל התודעה של איימי תהיה כלואה בגוף של בנדר, שבשל המגבלה, כבר לא יכול להחליף עם הגוף של איימי. איימי שואלת את הפרופסור האם אפשרי שכל תודעה תחזור לגוף שלה תוך שימוש בארבעה גופים או יותר, והפרופסור משיב בדרמטיות "איני בטוח. אני חושש שנאלץ להשתמש במתמטיקה!".

במהרה הבעיה מחריפה, ודמויות רבות נוספות מתערבבות בהחלפת הגופים. בסופו של הפרק הדמויות מחפשות דרך להחזיר את כולם לגוף שלהם. לעזרתן באים שניים משחקני ההארלם גלובטרוטרס (שלאורך הסדרה מוצגים כגאונים) ופותרים את הבעיה. הם מראים כי לא משנה כמה דמויות מעורבות בהחלפת הגופים, וכמה החלפות כבר "נשרפו", תמיד ניתן לחזור למצב הרגיל בעזרתם של שני גופים נוספים שטרם השתתפו בהחלפות. השחקנים מדגימים את הפתרון שלהם כאשר הם עוזרים לדמויות לחזור למצב הרגיל, וההוכחה המלאה של הפתרון מוצגת לצופים במשך כמה שניות. בתגובה להצגת הפתרון פרופסור פארנסוורת' מלין על כך ש"אומרים שמתמטיקה טהורה היא חסרת יישומים". הפתרון מוצג בדקה 20:31 לפרק.

רקע פורמלי

העצם המתמטי המייצג שינוי סדר נקרא תמורה. תמורות נהוג לסמן בשתי שורות; בשורה העליונה יופיעו העצמים בסדר כלשהו ובשורה בתחתונה מתחת לכל עצם בשורה העליונה יופיע המקום החדש שלו. במקרה שלנו, השורה העליונה תייצג את התודעות של הדמויות, והשורה התחתונה את הגופים של הדמויות. כל תודעה מצויה ישירות מעל לגוף שהיא מצויה בו.

למשל אם נסמן את איימי ב-A, את הפרופסור ב-P ואת בנדר ב-B, המצב אליו נקלעו השלושה בתחילת הפרק יסומן: ${\begin{pmatrix}A&P&B\\P&B&A\end{pmatrix}}$.

כאשר תמורה מעבירה את 1 ל-2, את 2 ל-3, את 3 ל-4, וכן הלאה עד שהעצם האחרון n עובר חזרה ל-1, נקראת מעגל וסימונה: $\ (12\ldots n)={\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots &n\\2&3&4&\cdots &1\end{pmatrix}}$. המספר n נקרא אורך המעגל.

התמורה שלא משנה כלום (במקרה שלנו, כל תודעה בגוף שלה) נקראת תמורת הזהות.

כאשר מפעילים תמורה אחת ולאחריה תמורה אחרת הפעולה נקראת הרכבה או כפל של תמורות, ומסמנים אותה בכתיבתם זה אחרי זה, משמאל לימין.

הוכחה

להלן ההוכחה למשפט שהוצגה במהלך הפרק בשינויים קלים.

תחילה נטפל במקרה של מעגל. יהי $\pi$ מעגל באורך k, אורך 2 לפחות (המעגל אינו משנה את המספרים הנותרים מ-k+1 עד n):

$\pi ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &k\\2&3&\cdots &1\end{pmatrix}}$

נסמן ב-$\langle a,b\rangle$ את פעולת ההחלפה בין שני גופים (כלומר חילופי מקומות בין המספרים a ו-b בשורה התחתונה של התמורה). אנו מניחים ש-$\pi$ נוצר על ידי החלפות שכאלו על המספרים מ-1 עד n. נוסיף שני "גופים חדשים", x ו-y ונרשום את התמורה המייצגת את המצב הנוכחי:

$\pi ^{*}={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &k&x&y\\2&3&\cdots &1&x&y\end{pmatrix}}$

נבחר $1\leq i<k$ ונגדיר תמורה $\sigma$ כהרכבה של החלפות:

$\sigma =\langle x,1\rangle \langle x,2\rangle \cdots \langle x,i\rangle \langle y,i+1\rangle \cdots \langle y,k\rangle \langle x,i+1\rangle \langle y,1\rangle$

$\sigma$ נוצרה על ידי החלפות שכולן מערבות או את x או את y, ולכן הן בהכרח שונות מההחלפות שיצרו את $\pi$. כמו כן אף אחת מההחלפות שיוצרות את $\sigma$ אינה מופיעה פעמיים. כעת נבחין כי:

$\pi ^{*}\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &k&x&y\\1&2&\cdots &k&y&x\end{pmatrix}}$

כעת נסמן ב-$\tau$ תמורה כלשהי על המספרים מ-1 עד n. כל תמורה ניתנת לפירוק להרכבה של מעגלים זרים (מעגלים שאינם חולקים מספרים). כל אחד מן המעגלים ניתן לטיפול על ידי סדרת החלפות $\sigma$ כפי שהוצג לעיל, כדי להחזיר כל תודעה לגוף שלה. לאחר השלמת הטיפול בכל המעגלים, ייתכן ו-x ו-y יהיו מוחלפים ביניהם בגופים (זה קורה כאשר מספר המעגלים הוא אי-זוגי). במקרה כזה מבצעים את ההחלפה $\langle x,y\rangle$ שטרם נעשה בה שימוש, ומתקבלת תמורת הזהות, כרצוי.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', אז מה לפיוצ'רמה ולתורת החבורות?, באתר "לא מדויק", 14 בספטמבר 2010
• Futurama theorem, The Infosphere: The Futurama Wiki
• Futurama Math: Mathematics in the Year 3000