קבוע אפרי
במתמטיקה, קבוע אפרי הוא הערך של פונקציית זטא של רימן בנקודה 3, כלומר המספר
- .
הקבוע נקרא על שם רוז'ה אפרי (1916–1994) שהוכיח בשנת 1978 שהקבוע הוא אי-רציונלי.
רקע
[עריכת קוד מקור | עריכה]ב-1735 פתר לאונרד אוילר את בעיית בזל והוכיח ש-. אוילר אף הגדיל לעשות והראה ש-, כאשר הוא מספר ברנולי ה-k. כיוון שפאי הוא מספר טרנסצנדנטי, תוצאתו של אוילר מראה שכל ערכי פונקציית זטא במספרים טבעיים זוגיים הם מספרים טרנסצנדנטיים (ובפרט אי-רציונליים).
לעומת זאת, לא נמצאה דרך דומה לחשב את ערכי פונקציית זטא בנקודות אי-זוגיות, והשאלה האם ערכים אלו אי-רציונליים נותרה פתוחה ב-200 השנים הבאות.
ב-1978 הציג רוז'ה אפרי, מתמטיקאי מבוגר ואלמוני למדי, הוכחה מפתיעה לכך ש- הוא אי-רציונלי. מאז הקבוע נקרא על שמו. משערים שקבוע אפרי הוא מספר טרנסנצנדטי, אך טענה זו טרם זכתה להוכחה.
ההוכחה של אפרי
[עריכת קוד מקור | עריכה]ההוכחה של אפרי לאי-רציונליות של נחשבת לטכנית ו"אד הוקית" למדי.
ההוכחה מסתמכת על משפט ידוע של דיריכלה הקובע שמספר רציונלי אינו ניתן לקירוב דיופנטי מסדר העולה על 1. אפרי מצא טור של מספרים רציונליים שמתכנס ל- מהר מספיק כדי לייצר קירוב דיופנטי מסדר העולה על 1.
ערכי פונקציית זטא בנקודות אי-זוגיות נוספות
[עריכת קוד מקור | עריכה]ניסיון להשתמש בשיטה של אפרי במטרה להוכיח שערכים נוספים של פונקציית זטא בנקודות אי-זוגיות גם הם אי-רציונליים נחל כישלון. זאת על אף שמשערים שכל הערכים הם אי-רציונליים.
Wadim Zudilin הוכיח בתחילת שנות ה-2000 שקיימים אינסוף ערכים אי-רציונליים של פונקציית זטא בנקודות אי-זוגיות, ושלפחות אחד מבין ערכי הפונקציה בנקודות 5, 7, 9, 11 הוא אי-רציונלי.
ראו גם
[עריכת קוד מקור | עריכה]לקריאה נוספת
[עריכת קוד מקור | עריכה]- Paul J. Nahin, World's Most Mysterious Unsolved Math Problem, Princeton University Press, 2021
קישורים חיצוניים
[עריכת קוד מקור | עריכה]- קבוע אפרי, באתר MathWorld (באנגלית)
- סדרת הספרות העשרוניות של קבוע אפרי באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
- סדרת המספרים בהצגה של קבוע אפרי כשבר משולב באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
מספרים אי-רציונליים נודעים | ||
---|---|---|
מספרים אלגבריים | 2√ • 3√ • יחס הזהב 𝜑 • יחס הכסף δAg • היחס הפלסטי 𝜌 | |
מספרים טרנסצנדנטיים | בסיס הלוגריתם הטבעי 𝑒 • פאי 𝜋 • קבוע גאוס • קבוע אומגה Ω • קבוע ליוביל | |
מספרים אי-רציונליים, שלא ידוע האם הם אלגבריים או טרנסצנדנטיים |
קבוע אפרי (3)ζ • קבוע ארדש-בורוויין | |
טריגונומטריה | קבועים טריגונומטריים מדויקים |