מורפיזם אפס

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, מורפיזם אפס הוא סוג מיוחד של מורפיזם "טריוויאלי".

הגדרה

תהי $C$ קטגוריה. אומרים כי $C$ מכילה את מורפיזם אפס, אם לכל זוג אובייקטים $X,Y$ יש מורפיזם $0_{X,Y}:X\rightarrow Y$ כך שמתקיימת התכונה הבאה:

לכל זוג מורפיזמים $f:R\rightarrow S$ ו-$g:U\rightarrow V$ מתקבלת דיאגרמה קומוטטיבית:

אם נציב בדיאגרמה הקומוטטיבית לעיל $R=S,f=id_{R}$ או לחלופין $U=V,g=id_{U}$, נקבל כי ההרכבה של מורפיזם אפס עם מורפיזם כלשהו (מימין או משמאל) נותנת מורפיזם אפס.

יתרה מכך, אם קיימת לקטגוריה משפחת מורפיזמי אפס, אז משפחה זו היא יחידה.

אם לקטגוריה קיימים מורפיזמי אפס אז ניתן להגדיר בה גרעין ו-קו-גרעין.

מורפיזם הוא מורפיזם אפס אם ורק אם הוא קבוע וקו-קבוע.

דוגמאות

• בקטגוריה של חבורות, מורפיזם אפס הוא הומומורפיזם $f:G\rightarrow H$ אשר מעתיק כל איבר ב-$G$ לאיבר היחידה של $H$.
• באופן יותר כללי, אם $C$ היא קטגוריה המכילה אובייקט אפס $0$, אז לכל זוג אובייקטים $X,Y$ קיים מורפיזם יחיד $0_{X,Y}:X\rightarrow 0\rightarrow Y$ (ההרכבה של המורפיזם היחיד מ-$0\to Y$ עם המורפיזם היחיד $X\to 0$).
• הקטגוריה של הקבוצות $\mathbf {Set}$ לא מכילה מורפיזמי אפס. כך גם הקטגוריה של מרחבים טופולוגים.