כלל המעגל

אחד הממצאים בתורת ההסתברות בכלל ובתורת המטריצות האקראיות הוא כלל המעגל האומר שבהינתן סדרת מטריצות מרוכבות, $A_{n}\in \mathbb {C} ^{n\times n}$, שהרכיבים שלהן נדגמו ממשתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות בעלי תוחלת 0 ושונות 1 אז אם נסתכל על התפלגות הספקטרום של ${\frac {1}{\sqrt {n}}}A_{n}$ ונשאיף את $n\to \infty$ נקבל התפלגות אחידה על גבי דיסק היחידה המרוכב .

המשפט נחקר במשך שנים מאמצע המאה ה-20, ובשנת 2008 הוכח על ידי טרנס טאו וואן וו בגרסתו החזקה ביותר.

ניסוח פורמלי

בהינתן סדרת מטריצות אקראיות $(M_{n})_{n=1}^{\infty }$ כך ש $M_{n}\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ עם ערכים עצמיים $\lambda _{i}\in \mathbb {C} ,i=1,..,n$ וקבוצת בורל $A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} )$.

נגדיר את המידה הספקטרלית האמפירית של ${\frac {1}{\sqrt {n}}}M_{n}$ כך: $\mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}M_{n}}(A):=n^{-1}\#\{j\leq n:\lambda _{j}\in A\}$

אז כלל המעגל אומר כי בהינתן סדרת מטריצות אקראיות $M_{n}=(a_{ij})_{i,j=1}^{i,j=n}$ כך ש-$a_{ij}$ משתנים מקריים מרוכבים בלתי תלויים בעלי התפלגות שווה, עם תוחלת 0 ושונות 1, אז המידה האמפירית הספקטרלית של ${\frac {1}{\sqrt {n}}}M_{n}$ מתכנסת כמעט תמיד למידה האחידה על מעגל היחידה המרוכב.

דוגמה

ניתן לראות ויזואלית את התפלגות הערכים העצמיים של מטריצות העומדות בתנאי המשפט. נסתכל על $A_{n}={\frac {1}{\sqrt {2}}}Z_{1}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}Z_{2},Z_{1},Z_{2}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$. כאשר כל ערך ב $Z_{1},Z_{2}$ נדגם מהתפלגות נורמלית סטנדרטית, כלומר ${\mathcal {N}}(0,1)$. כעת אנחנו יודעים כי $A_{n}$ עומדת בתנאי המשפט ולכן ננסה לראות את התפלגות הערכים העצמיים שלה.

מפת חום של 5,000 ערכים עצמיים של המטריצה ${\frac {1}{\sqrt {n}}}A_{n}$

על מנת לראות את האוניברסליות של המשפט האומרת כי המשפט נכון לכל התפלגות העומדת בתנאים, ניתן לעשות דבר דומה עם $Z_{1},Z_{2}$ כאשר ערכייהם נדגמו מהתפלגות מעריכית עם פרמטר $\lambda =1$ ונרמול המשתנה. כלומר נסתכל הפעם על הערכים העצמיים של $A_{n}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(Z_{1}-1)+{\frac {i}{\sqrt {2}}}(Z_{2}-1)$ ונקבל את התוצאה הבאה:

מפת חום של 5,000 ערכים עצמיים של המטריצה ${\frac {1}{\sqrt {n}}}A_{n}$

עקרונות מרכזיים בהוכחת המשפט

המקרה של מטריצות הרמטיות נפתר קודם לכן עם התפלגות חצי המעגל של יוג'ין ויגנר.

על מנת להוכיח את המקרה הפרטי של מטריצות הרמטיות ישנן 2 שיטות עיקריות, שיטת המומנטים וטרנספורמציית סטילטיס. במקרה הלא הרמיטי השיטות הללו לא עובדות והיה צורך לפתור את הבעיה מכיוון אחר.

בעיה בשיטת המומנטים

במקרה ההרמטי ניתן להשתמש בשיטת המומנטים על ידי כך שאם נדע את כל המומנטים נוכל לקבוע את ההתפלגות הגבולית. כלומר נדע את המומנטים:

${\frac {1}{n}}tr({\frac {1}{\sqrt {n}}}M)^{k}=\int _{\mathbb {R} }x^{k}d\mu _{\frac {1}{{\sqrt {n}}M_{n}}}(x)$

אבל נשים לב כי במקרה הכללי אנחנו מקבלים כי התומך של $\mu _{\frac {1}{{\sqrt {n}}M_{n}}}(x)$ הוא המישור המרוכב. בישר הממשי הפולינומים הם קבוצה צפופה אבל לא כך הדבר במישור המרוכב. לכן, לפי בעיית המומנטים, לא נוכל באמצעות שליטה על המומנטים לקבוע את פונקציית הצפיפות ביחידות.

נשתמש בדוגמה הבאה כדי לקבל אינטואיציה מדוע השיטה לא רלוונטית למקרה הכללי:

$U_{0}={\begin{pmatrix}0&1&0&\dots &0\\0&0&1&\dots &0\\0&0&0&\dots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1\\0&0&0&\dots &0\end{pmatrix}}$

$U_{0}$ הינה מטריצה בעלת פולינום אופייני $P_{U_{0}}(\lambda )=(-\lambda )^{n}$, כלומר הערך העצמי היחיד הוא 0.

כעת עבור מטריצה מרוכבת ו-$\varepsilon >0$

$U_{\varepsilon }={\begin{pmatrix}0&1&0&\dots &0\\0&0&1&\dots &0\\0&0&0&\dots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1\\\varepsilon &0&0&\dots &0\end{pmatrix}}$

נקבל פולינום אופייני $P_{U_{\varepsilon }}(\lambda )=(-\lambda )^{n}-\varepsilon (-1)^{n}$ עם n שורשים מרוכבים שונים שהם $\varepsilon ^{1/n}e^{2\pi ik/n},k=0,..,n-1$. זה להבדיל מהמקרה הצמוד לעצמו ששם ישנה שליטה בשינוי הספקטרום של מטריצה כתוצאה משינוי קטן, למשל על ידי אי-שוויון וייל.

כעת נקבל כי לכל $k=1,...,n-1$ מתקיים כי

$\int _{\mathbb {R} }x^{k}d\mu _{\frac {1}{{\sqrt {n}}U_{0}}}(x)=\int _{\mathbb {R} }x^{k}d\mu _{\frac {1}{{\sqrt {n}}U_{\varepsilon }}}(x)=0$

כלומר ישנה הסכמה מלאה של המומנטים עד $k=n-1$ אבל בזמן ש $\mu _{\frac {1}{{\sqrt {n}}U_{0}}}$ נותנת משקל מלא בראשית $\mu _{\frac {1}{{\sqrt {n}}U_{\varepsilon }}}$ מתקרבת לצפיפות אחידה על גבי דיסק היחידה.

בעיה בשיטת סטילטס

בשיטת סטילטס מנסים למצוא היפוך לטרנספומצית סטילטס:

$s_{n}(z)={\frac {1}{n}}tr({\frac {1}{\sqrt {n}}}M_{n}-zI)^{-1}=\int _{C}{\frac {d\mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}M_{n}}(w)}{w-z}}dw$

כאשר אם ניתן היה למצוא לנוסחה היפוך היינו מקבלים את ההתפלגות הרצויה. במקרה ההרמטי ניתן להשתמש בנוסחת פלמלג' אך במקרה הנוכחי זה לא מתאפשר.

שימוש בפונטציאל הלוגריתמי

על מנת להתגבר על הבעיה בשיטת סטילטס פנו לנוסחת הפוטנציאל הלוגריתמי:

$f_{n}(z):=\int _{\mathbb {C} }\log |w-z|d\mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}M_{n}}$

ניתן להראות כי הקשר בין הנוסחה הזו לנוסחת סטילטס הוא

$s_{n}(z)=(-{\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}})f_{n}(z)$

כעת נסמן את הלפלסיאן ב - $\Delta$ ונקבל את הקשר הבא:

$d\mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}M_{n}}={\frac {1}{2\pi }}\Delta f_{n}$

באמצעות קשרים אלו ניתן למצוא את ההתפלגות הגבולית המתאימה של כלל המעגל.

היסטוריה

המשפט כפי שהוצג כאן הוא תוצאה של שנים של מחקר. רצף של התקדמויות שהחלו בשנת 1965 בנושא הובילו למשפט בגרסתו הנוכחית שיצא לאור בשנת 2009. מהטה היה הראשון שהוכיח את המשפט במקרה הגאוסיהמרוכב עבור התכנסות בתוחלת באמצעות הנוסחה המפורשת של הספקטרום שהוכח על ידי ג'יניברה . סילברשטיין הוסיף למקרה הגאוסי המרוכב התכנסות כמעט תמיד. גירקו עבד על גרסה כללית יותר המכילה התפלגות כלשהי, גרסה אוניברסלית, אך הוכחותיו חסרו בבהירות וריגורוזיות מתמטית. גוטזה וטיכהומירוב הצליחו להשיג גרסה אוניברסלית אבל עם תנאים נוספים על גבי ההתפלגות והמומנטים שלה. טרנס טאו וואן וו הגיעו לגרסה הנוכחית של המשפט אשר מכילה את "תכונת האוניברסליות" ומניחה הנחות מינימליות על גבי המטריצה וההתפלגות הנתונה.

שימושים

למשפט שימושים רבים בתחומים שונים. הנה כמה שימושים למשפט:

הנדסה

בחקר MIMO (תקשורת) אפשר להסתכל על מערכות ענק ולמדל את התקשורת בין אנטנות באמצעות מטריצה אקראית. על מנת לאגור מידע ולאמת את איכותו ניתן להשתמש במשפט על מנת להבין כיצד המידע אמור להתנהג תאורטית ולהשוות אותו למידע הנאגר.

ביולוגיה מתמטית

בחקר יציבות מערכות אקולוגיות רוברט מיי הסתכל על מערכת משוואות דפרנציאליות המתארות את גודל האוכלוסייה של $S$ מינים שונים. הוא גילה מתי מערכת כזאת היא יציבה בכך שהוא הסתכל על היעקוביאן של מערכת כזאת כמטריצה אקראית ושימוש במשפט להבין כיצד נראים אותם ערכים עצמיים.

ראו גם

• מטריצה אקראית
• התפלגות חצי המעגל של ויגנר
• התפלגות טרייסי-וידום
• התפלגות מרצ'נקו-פסטור

קישורים חיצוניים

• Terence Tao, 254A, Notes 8: The circular law, 2010
• Terence Tao, Topics in random matrix theory, 2012
• Weisstein, E. W. "Girko's Circular Law". Wolfram MathWorld.
• Roland Speicher, Lecture Notes on "Random Matrices", 2020