טרנספורמציית סטילטיס

במתמטיקה, ובפרט בתורת ההסתברות ובאנליזה מרוכבת, טרנספורמציית סטילטיס (Stieltjes transformation), או התמרת סטילטיס של מידת הסתברות $\mu$ על הישר הממשי עם תומך $I$ היא הפונקציה המרוכבת $S_{\mu }\colon \mathbb {C} \backslash I\to \mathbb {C}$ המוגדרת על ידי

$$S_{\mu }(z)=\int _{\mathbb {R} }{{\frac {1\,}{x-z}}d\mu (x)}.$$

בפרט, ניתן לראות כי $S_{\mu }$ מוגדרת היטב בחצי המישור העליון והתחתון של המישור המרוכב.

ההתמרה קרויה על שם המתמטיקאי ההולנדי תומאס יוהנס סטילטיס (Thomas Joannes Stieltjes) אשר הציגה לראשונה ב-1894.

להתמרת סטילטיס שימושים שונים במתמטיקה, כאשר העיקרי שבהם הוא בתורת המטריצות האקראיות ובפרט בניתוח התפלגות הערכים העצמיים של מטריצות אקראיות.

תכונות

סימטריה

לכל $z\in \mathbb {C}$ מתקיים כי ${\overline {S_{\mu }(z)}}=S_{\mu }({\overline {z}})$. לכן, לרוב מספיק לנתח את התנהגות טרנספומצית סטילטיס בחצי המישור המרוכב העליון.

נגזרות

על פי כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל, ניתן לראות כי -

$$\forall n\in \mathbb {N} \quad S_{\mu }^{(n)}(z)=\int _{I}{{\frac {n!}{(x-z)^{n+1}}}d\mu (x)}$$

בפרט, ניתן לחסום את הנגזרות בעזרת החלק המדומה של $z$ -

$$\forall n\in \mathbb {N} \quad |S_{\mu }^{(n)}(z)|\leq \int _{I}{{\frac {n!}{|x-z|^{n+1}}}d\mu (x)}\leq {\frac {n!}{|Im(z)|^{(n+1)}}}.$$

אנליטיות, פיתוח לטור חזקות ומומנטים

כפי שראינו, טרנספורמציית סטילטיס $S_{\mu }$ היא פונקציה חלקה, ובנוסף, מהחסמים לעיל ניתן להסיק כי היא פונקציה אנליטית בתחום הגדרתה $\mathbb {C} \backslash I$.

תחת ההנחה כי ל-$\mu$ קיימים מומנטים מכל סדר (למשל אם ל-$\mu$ תומך חסום), נוכל לפתח את טור טיילור של $S_{\mu }$ ולקבל-

$$S_{\mu }(z)=\int _{\mathbb {R} }{{\frac {1\,}{x-z}}d\mu (x)}=-{\frac {1}{z}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{1-{\frac {x}{z}}}}d\mu (x)=-{\frac {1}{z}}\int _{\mathbb {R} }\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {x}{z}}\right)^{n}}d\mu (x)=-\sum _{n=0}^{\infty }{z^{-(n+1)}\int _{\mathbb {R} }x^{n}d\mu (x)}$$

לכן, אם $X$ משתנה מקרי בעל התפלגות $\mu$, נקבל כי -

$$S_{\mu }(z)=-\sum _{n=0}^{\infty }{z^{-(n+1)}\mathbb {E} [X^{n}]}$$כלומר, המקדמים של תור החזקות הם המומנטים של $X$.

ניתוח החלק המדומה

אם נכתוב עבור $z\in \mathbb {C}$, $z=a+ib$ נקבל כי -

$$Im(S_{\mu }(z))=\int _{\mathbb {R} }{Im\left({\frac {1}{t-z}}\right)d\mu (t)}=\int _{\mathbb {R} }{Im\left({\frac {\overline {t-z}}{(t-z)({\overline {t-z}})}}\right)d\mu (t)}=\int _{\mathbb {R} }{{\frac {b}{(t-a)^{2}+b^{2}}}d\mu (t)}$$

בפרט, מאגף ימין ניתן לראות כי $S_{\mu }$ ממפה את חצי המישור המרוכב העליון לעצמו, ולכן, בשילוב עם כך ש $S_{\mu }$ אנליטית, נסיק כי היא פונקצית הרגלוץ.

נוסחת ההיפוך של סטילטיס

תחת תנאים מסוימים ניתן לשחזר את המידה $\mu$ מטרנספורמציית סטילטיס המתאימה $S_{\mu }$ בעזרת תוצאה חשובה הנקראת נוסחת ההיפוך של סטילטיס.

לדוגמה, אם פונקציית ההתפלגות המצטברת של $\mu$ רציפה בקטע $[a,b]\subset \mathbb {R}$ אזי

$${\frac {1}{\pi }}\int _{a}^{b}Im(S_{\mu }(x+i\epsilon ))dx\longrightarrow \mu ([a,b])$$כאשר $\epsilon \to 0^{+}$.

מתכונת הסימטריה המרוכבת המצוינת לעיל ניתן לשכתב תוצאה זו ולכתוב

$${\frac {S_{\mu }(\cdot +i\epsilon )-S_{\mu }(\cdot -i\epsilon )}{2\pi i}}\longrightarrow \mu$$כאשר $\epsilon \to 0^{+}$ .

הוכחה

מניתוח החלק המרוכב של $S_{\mu }$ המופיע בפרק התכונות נקבל כי -

$${\frac {1}{\pi }}\int _{a}^{b}Im(S_{\mu }(x+i\epsilon ))dx={\frac {1}{\pi }}\int _{a}^{b}\int _{\mathbb {R} }{{\frac {\epsilon }{(t-x)^{2}+\epsilon ^{2}}}d\mu (t)}dx=\int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{\pi }}\int _{a}^{b}{{\frac {\epsilon }{(t-x)^{2}+\epsilon ^{2}}}dxd\mu (t)}$$

$$=\int _{\mathbb {R} }{{\frac {1}{\pi }}\left[\arctan(\epsilon ^{-1}(b-t))-\arctan(\epsilon ^{-1}(b-t))\right]d\mu (t)}\quad {\xrightarrow[{\epsilon \to 0^{+}}]{}}_{(*)}\int _{\mathbb {R} }\mathbf {1} _{[a,b]}(t)d\mu (t)=\mu ([a,b])$$

כאשר המעבר $(*)$ נובע ממשפט ההתכנסות הנשלטת.

מסקנה - שחזור פונקציית הצפיפות

מנוסחת ההיפוך של סטילטיס נוכל להסיק כי אם $Im(S_{\mu }(z))$ רציפה בנקודה $z=x+0\cdot i$ אז נגזרת רדון-ניקודים של $\mu$ קיימת בנקודה ונתונה על ידי -

$${\frac {1}{\pi }}Im(S_{\mu }(x)).$$

משפט הרציפות של סטילטיס

נוסחת ההיפוך של סטילטיס מבטיחה לנו שתחת תנאים מתאימים, טרנספורמציית סטילטיס $S_{\mu }$ קובעת ביחידות את המידה $\mu$. משפט הרציפות של סטליטיס מכליל תוצאה זו ומאפשר לנו לנתח את ההתנהגות הגבולית של סדרת מידות על ידי ניתוח הגבול של התמרות סטילטיס המתאימות.

ניסוח פורמלי

יהיו $\{\mu _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ מידות הסתברות מקריות מעל הישר הממשי ותהא $\mu$ מידת הסתברות.

אז, התנאים הבאים מתקיימים:

• $\mu _{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{\mathcal {w}}}\mu$ כמעט תמיד אם ורק אם $S_{\mu _{n}}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}S_{\mu }$ כמעט תמיד בחצי המישור המרוכב העליון.

• $\mu _{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{\mathcal {w}}}\mu$ בהסתברות אם ורק אם $S_{\mu _{n}}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}S_{\mu }$ בהסתברות בחצי המישור המרוכב העליון

• $\mu _{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{\mathcal {w}}}\mu$ בתוחלת אם ורק אם $S_{\mu _{n}}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}S_{\mu }$ בתוחלת בחצי המישור המרוכב העליון.

שימושים בתורת המטריצות האקראיות

ערך מורחב – התפלגות חצי המעגל של ויגנר

בעזרת משפט הרציפות של סטילטיס ניתן להוכיח את חוק חצי המעגל של ויגנר.

גרסה בסיסית של חוק זה קובעת כי עבור מטריצות אקראיות, ממשיות וסימטריות $M_{n}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ המקיימות:

1. ל $M_{n}$ כניסות בלתי תלויות ושוות התפלוגת.
2. ל $(M_{n})_{ij}$ תוחלת 0 ושונות 1 לכל $i,j\in [n]$ .
3. ל $(M_{n})_{ij}$ מומנטים מכל סדר לכל $i,j\in [n]$.

ההתפלגות הספקטרלית האמפירית (ESD) של $M_{n}$, המוגדרת להיות $\mu _{M_{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\delta _{\lambda _{i}(M_{n})}$ כאשר $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \ldots \leq \lambda _{n}$ הם הערכים העצמיים של $M_{n}$, מתכנסת בתוחלת להתפלגות חצי המעגל של ויגנר. כלומר -

$$\ \lim _{n\rightarrow \infty }P(\lambda (M_{n})<t{\sqrt {n}})=\int _{-2}^{t}{\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}}dx.$$

למשפט זה הכללות שונות אשר מבטיחות התכנסות כמעט תמיד תחת הנחות מקלות.

סקיצה להוכחה

התמרת סטילטיס של המטריצה המנורמלת $\mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}M_{n}}$ היא $S_{{\frac {1}{\sqrt {n}}}M_{n}}(z)={\frac {1}{n}}tr{\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}M_{n}-zI\right)}^{-1}$.

ההתמרה של התפלגות חצי המעגל של וויגנר, $S_{\mu _{sc}}$ נתונה על ידי -$$S_{\mu _{sc}}(z)={\frac {{\sqrt {z^{2}-4}}-z}{2}}$$

לכן, על פי משפט הרציפות של סטילטיס, על מנת להוכיח את המשפט די להראות כי לכל $z\in \mathbb {C}$ בחצי המישור המרוכב העליון מתקיים כי -

$$S_{{\frac {1}{\sqrt {n}}}M_{n}}(z){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}S_{\mu _{sc}}(z).$$הוכחה מלאה ניתן למצוא בקישור המצורף.

ראו גם

• מטריצה אקראית
• התפלגות חצי המעגל של ויגנר
• התפלגות טרייסי-וידום
• התפלגות מרצ'נקו-פסטור

קישורים חיצוניים

• Z. D. Bai ,Convergence Rate of Expected Spectral Distributions of Large Random Matrices, 1993
• Terence Tao, Topics in random matrix theory, 2012
• Roland Speicher, Lecture Notes on "Random Matrices", 2020
• Song Mei, Random Matrices and Stieltjes Transforms, 2021