חור שחור (ניתוח מתמטי)

בתורת היחסות הכללית, חור שחור הוא פתרון של משוואות איינשטיין בריק. משוואות איינשטיין הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות את הקשר בין המרחב-זמן לצפיפות האנרגיה בכל נקודה. כדי לקבל חור שחור מניחים ריק בכל המרחב, כלומר טנזור צפיפות האנרגיה שווה ל-0 בכל נקודה, מלבד בראשית הצירים (מרכז החור השחור).

הפתרון מכיל קבועים וסוגי סינגולריות שונים, שאותם מזהים כמסה של החור השחור, סינגולריות אמיתית ואופק אירועים, בהתאם לתנאי השפה של המשוואות: מניחים סימטריה כדורית עבור חור שחור פשוט, או סימטריה גלילית עבור חור שחור מסתובב. בנוסף כתנאי שפה משווים את הכבידה רחוק מהגוף השחור לכבידה במכניקה הקלאסית.

הפתרון עבור סימטריה כדורית (חור שחור לא מסתובב) נקרא פתרון שוורצשילד (על שם קרל שוורצשילד), והוא מכיל רדיוס שבו הקואורדינטות מתבדרות. זהו רדיוס שוורצשילד הנקרא גם אופק האירועים של החור השחור, הוא יחסי למסת הכוכב, ועצמים ואינפורמציה אינם יכולים לצאת ממנו. עצם שרדיוסו קטן מרדיוס אופק האירועים שמתאים למסה שלו הוא חור שחור. זו אינה סינגולריות אמיתית אלא רק סינגולריות של הקואורדינטות החיצוניות, שכן עקמומיות המרחב באופק האירועים סופית. במרכז החור השחור נמצאת סינגולריות נקודתית, שבה עקמומיות המרחב אינסופית. סוג אחד של פתרון המשוואות (קואורדינטות שוורצשילד) מכיל בנוסף אזור תאורטי שנקרא חור לבן, שממנו חומר יכול רק לצאת ולא להיכנס אליו.

חור שחור מסתובב (בעל סימטריה גלילית) נקרא חור שחור מסוג קרֶ (Kerr). הוא מכיל בנוסף לאופק האירועים אזור הנקרא ארגוספירה, מחוץ ובסמוך לאופק האירועים, שבו כל עצם חייב להסתובב סביב החור השחור, שכן אין פתרון נייח למרחב-זמן, וצופה קבוע במקום ונע רק קדימה בזמן נמצא מחוץ לקונוס האור. במרכז חור שחור מסוג קר נמצאת סינגולריות טבעתית. פתרון המשוואות באזור הסינגולריות מאפשר באופן תאורטי מסע בזמן^{[דרושה הבהרה]}.

פתרונות נוספים מתחשבים במטען חשמלי שיכול להיות לחור השחור.

מבחינת הפיזיקה הפתרון של המשוואות בתוך אופק האירועים אינו ניתן לתצפית ולאימות, ולכן הוא בגדר השערה מתמטית בלבד. השערת הצנזורה הקוסמית קובעת שכל סינגולריות עטופה באופק אירועים כך שלא ניתן להגיע אליה בזמן סופי של צופה מבחוץ. כך גם הסינגולריות המשוערת במרכז החור השחור ושאר התופעות אשר נחזות על ידי המשוואות, כמו האפשרות למסע בזמן או חור לבן, הן תאורטיות בלבד. חורים לבנים לא נצפו מעולם, בניגוד לחורים שחורים.

הקדמה

משוואות איינשטיין

משוואת איינשטיין הכללית, ללא הקבוע הקוסמולוגי, מקשרת בין טנזור האנרגיה למטריקה, כלומר מתארת את ההשפעה ההדדית של מסה-אנרגיה ועקמומיות המרחב-זמן (ללא הקבוע הקוסמולוגי):

$\ R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$

כאשר: $\ G$ - קבוע הכבידה, $\ c$ - מהירות האור, $\ g_{\mu \nu }$ - טנזור המטריקה, $\ T_{\mu \nu }$ - טנזור צפיפות האנרגיה, ו-$R_{\mu \nu },\ R$ - סקלר וטנזור ריצ'י (עקמומיות המרחב). בהמשך נעשה בהמשך שימוש ביחידות טבעיות:

$\ c=G=1$,

אשר מצמצמות מאוד את מרבית המשוואות. משוואות איינשטיין ביחידות טבעיות הן

$\ R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }$

נצמצם את המשוואה באמצעות טנזור איינשטיין:

$G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }$

כך שהמשוואה מקבלת את הצורה:

$G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }$.

פתרון המשוואות הוא המטריקה של המרחב, כלומר $g_{\mu \nu }$. נהוג לכתוב אותה בעזרת אלמנט הקו $ds^{2}$, שהוא אלמנט אורך יחידה בריבוע, או הזמן העצמי של הצופה, וכאמור מגדיר את המטריקה של המרחב-זמן.

טנזור העקמומיות וטנזור ריצ'י

טנזור העקמומיות של רימן מודד את השינוי בווקטור במרחב-זמן לאחר העתקה מקבילה במסלול סגור. זהו הגודל הפיזיקלי שמציין את עקמומיות המרחב. פיתוח הטנזור מיוחס לברנהרד רימן ולאלווין ברונו כריסטופל (Elwin Bruno Christoffel). הטנזור נכתב כ:

$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }$

כאשר $\Gamma ^{\gamma }{}_{\beta \mu }$ הם סימני כריסטופל (נקראים גם קישורים אפיניים):

$\Gamma ^{\gamma }{}_{\beta \mu }={1 \over 2}g^{\alpha \gamma }(g_{\alpha \beta ,\mu }+g_{\alpha \mu ,\beta }-g_{\beta \mu ,\alpha })$.

במרחב-זמן שטוח, וקטור אינו משתנה לאחר העתקה מקבילה, ולכן טנזור רימן מתאפס בכל מערכת ייחוס.

טנזור ריצ'י $R_{\mu \nu }$ וסקלר ריצ'י $R$ נגזרים מתוך טנזור רימן באמצעות צמצום הקואורדינטות:

$R_{\mu \nu }=g^{\alpha \gamma }R_{\gamma \mu \alpha \nu }=R^{\alpha }{}_{\mu \alpha \nu }$,

$R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=R^{\mu }{}_{\mu }$.

פתרון שוורצשילד

פתרון שוורצשילד של משוואות איינשטיין הוא המטריקה עבור חור שחור בעל "מסה" $M$ שאינו מסתובב ואינו טעון (פיתוח הפתרון מוצג בהמשך):

$c^{2}d\tau ^{2}=-\left(1-{\frac {2GM/c^{2}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM/c^{2}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)$

כאשר G הוא קבוע הכבידה האוניברסלי, c היא מהירות האור בריק, $\tau$ הוא הזמן העצמי של המרחב, חתימת המטריקה מוגדרת לפי (1,1,1,1-), ו-$(t,r,\theta ,\varphi )$ הן קואורדינטות במרחב (r במקרה הזה מוגדר באופן מיוחד, כפי שמוסבר בהמשך). ביחידות טבעיות, בהן c=G=1, מצטמצם הפתרון לצורה מטריקת שוורצשילד מהווה פתרון של משוואת איינשטיין במסגרת תורת היחסות הכללית. היא מתארת את מבנה המרחב-זמן מסביב לעצם בעל סימטריה כדורית. את מטריקת שוורצשילד ניתן לרשום בעזרת הגדרת אלמנט הקו:

$ds^{2}=-\left(1-{2M \over r}\right)dt^{2}+\left(1-{2M \over r}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}$

כאשר $d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;d\phi ^{2}$ הוא אלמנט של זווית מרחבית. ניתן לראות בפתרון סינגולריות (מטריקה שווה לאפס או מתבדרת לאינסוף) כאשר

$r_{s}=2M$

רדיוס זה נקרא רדיוס שוורצשילד, והוא אופק האירועים של החור השחור.

הגדרה פורמלית

חור שחור הוא פתרון משוואות איינשטיין בוואקום (בכל נקודה מלבד r=0), סטטי, ספרי-סימטרי, אשר ברדיוס גדול שואף לפוטנציאל הניוטוני: $V=-{\frac {GM}{r}}$.

• הוואקום פירושו שאין חומר או אנרגיה במרחב, ולכן טנזור צפיפות האנרגיה מתאפס, ומשוואות איינשטיין מקבלות את הצורה הפשוטה יותר

$G_{\mu \nu }=0$

• סטטיות בזמן: סטציונריות בזמן מאפשרת וקטור קילינג דמוי זמן, ובאופן שקול המטריקה אינה תלויה בזמן:

${\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{0}}}=0$

סטטיות היא דרישה חזקה יותר. המרחב-זמן הוא סטטי אם הוא מאפשר וקטור קילינג דמוי זמן ואורתוגונלי, או באופן שקול אם המטריקה קבועה בזמן וסימטרית להיפוך הזמן. במקרה זה וקטור קילינג יכול להכתב כ-$\ \xi =(1,0,0,0)$, ואלמנט הקו הוא

$\ ds^{2}=g_{00}(x^{i})(dx^{0})^{2}+g_{kn}(x^{i})dx^{k}dx^{n},\qquad i,k,n=1..3$

• סימטריה ספרית: יחד עם הסטציונריות מאפשרת ניוון של המטריקה הכללית למקרה פשוט יותר:

$ds^{2}=g_{tt}dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})$

כאשר הרדיוס אינו תואם לרדיוס במרחב אוקלידי: היקף של ספירה הוא $2\pi g_{\theta \theta }$ ואנו נגדיר $r=g_{\theta \theta }$. כך יוצא שהיקף מעגל שווה ל-$2\pi r$ אך ה"רדיוס" הזה אינו קשור כלל למרחק מראשית הצירים (לדוגמה, המרחק מהראשית יכול להיות אינסופי עבור "רדיוס" סופי).

בנוסף, עקב הסטציונריות והסימטריה, $g_{tt},g_{rr}$ תלויים רק ברדיוס. המטריקה כעת נכתבת

$ds^{2}=-B\left(r\right)dt^{2}+A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$.

פיתוח

סימני כריסטופל

מתוך המטריקה נחשב את סימני כריסטופל, כפי שהוגדרו למעלה. הסימן $'$ מייצג נגזרת מלאה של פונקציה לפי $r$.

$\Gamma _{\mu \nu }^{t}={\begin{bmatrix}0&0&0&B'/\left(2B\right)\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\B'/\left(2B\right)&0&0&0\end{bmatrix}}$

$\Gamma _{\mu \nu }^{r}={\begin{bmatrix}A'/\left(2A\right)&0&0&0\\0&-r/A&0&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta /A&0\\0&0&0&B'/\left(2A\right)\end{bmatrix}}$

$\Gamma _{\mu \nu }^{\theta }={\begin{bmatrix}0&1/r&0&0\\1/r&0&0&0\\0&0&-\sin \theta \cos \theta &0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

$\Gamma _{\mu \nu }^{\phi }={\begin{bmatrix}0&0&1/r&0\\0&0&\cot \theta &0\\1/r&\cot \theta &0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

משוואות איינשטיין

בעזרת סימני כריסטופל נחשב את טנזור ריצ'י, כפי שהוגדר למעלה. הטנזור אלכסוני, ורק איברי האלכסון הראשי שונים מ-0.

$R_{tt}=\left({\frac {B''}{2A}}-{\frac {A'B'}{4A^{2}}}-{\frac {B'^{2}}{4AB}}+{\frac {B'}{rA}}\right)$

$R_{rr}=\left(-{\frac {B''}{2B}}+{\frac {A'B'}{4AB}}+{\frac {B'^{2}}{4B^{2}}}+{\frac {A'}{rA}}\right)$

$R_{\theta \theta }=\left(-{\frac {1}{A}}+{\frac {rA'}{2A^{2}}}+1-{\frac {rB'}{2AB}}\right)$

$R_{\varphi \varphi }=\sin ^{2}\theta R_{\theta \theta }$

נחשב את סקלר ריצ'י,

$R={R^{\mu }}_{\mu }=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$

$R=-{\frac {B''}{AB}}+{\frac {A'B'}{2A^{2}B}}+{\frac {B'^{2}}{2AB^{2}}}-{\frac {2B'}{rAB}}+{\frac {2A'}{rA^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}A}}$

כעת נוכל לכתוב את משוואות איינשטיין, כאשר גם בהן הטנזור $G_{\mu \nu }$ אלכסוני, ורק איברי האלכסון הראשי אינם טריוויאליים:

$G_{\mu \mu }=R_{\mu \mu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \mu }R=0$

ולכן

$G_{tt}={\frac {A'B}{rA^{2}}}+{\frac {B}{r^{2}}}-{\frac {B}{r^{2}A}}=0$

$G_{rr}={\frac {B'}{rB}}-{\frac {A}{r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}=0$

$G_{\theta \theta }={\frac {r^{2}B''}{2AB}}-{\frac {r^{2}A'B'}{4A^{2}B}}-{\frac {r^{2}B'^{2}}{4AB^{2}}}+{\frac {rB'}{2AB}}-{\frac {rA'}{2A^{2}}}=0$

$G_{\varphi \varphi }=\sin ^{2}\theta G_{\theta \theta }=0$

פתרון המשוואות

אם נכפיל את המשוואה הראשונה ($tt$) ב-$rA^{2}$ ואת השנייה ($rr$) ב-$rAB$, ונחבר, נקבל את המשוואה

$A'B+AB'=0$

ובאמצעות אינטגרציה על $r$

$AB=K$

כאשר $K$ הוא קבוע אינטגרציה בלתי ידוע בשלב זה. באמצעות שתי המשוואות האחרונות אשר קושרות את $A,B$ ונגזרותיהם נוכל לכתוב את המשוואה השלישית ($\theta \theta$) באמצעות $B$ בלבד

$rB''+2B'=0$

שפתרונה (באמצעות שתי אינטגרציות) הוא

$B={\frac {T}{r}}+S$

כאשר $T,S$ הם שני קבועי אינטגרציה, ונקבל גם

$A=K\left({\frac {T}{r}}+S\right)^{-1}$

כדי לחשב את שלושת קבועי האינטגרציה, נניח שהשפעת החור השחור על מרחקים גדולים מאוד ממנו שואף לגבול של המכניקה הניוטונית, כלומר

$\lim _{r\rightarrow \infty }g_{tt}\rightarrow -c^{2}+{\frac {2GM}{r}}$

ובאינסוף המטריקה היא שטוחה, כלומר

$A(r\rightarrow \infty )=1$

ולכן

$B=c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)$

$A=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}$

וכך מקבלים לבסוף את פתרון שוורצשילד למטריקה של חור שחור

$ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}\right)$

קישורים חיצוניים

• משוואת השדה ועוד - חור שחור נייח (פתרון שוורצשילד), מתוך "להבין גם את תורת היחסות הכללית", רפי מור, 2005
• Valeria Ferrari, חומר עזר לקורס יחסות כללית (באנגלית) פרק 10 - חור שחור מסוג שווארצשילד.