חוק גוטנברג-ריכטר

חוק גוטנברג-ריכטר התאים לרעידות העוקבות של רעידת האדמה במרכז איטליה (2016) באוגוסט 2016, במהלך התקופה 22 באוגוסט - 1 בספטמבר. יש לשים לב, שההתאמה הליניארית נכשלת בקצה העליון והתחתון, עקב היעדר אירועים רשומים. מאחר שתקופת ההקלטה היא רק 10 ימים, עדיין לא הופיעו אירועים בסדר גודל של יותר ממגניטודה 6. מכיוון שמכשירי ההקלטה אינם מסוגלים לזהות אירועי רעידת אדמה בקרבת או מתחת לרמת רעש הרקע, רוב האירועים במגניטודה נמוכה מ-1.5 אינם מזוהים.

בסייסמולוגיה, חוק גוּטנברג-ריכטר (באנגלית: Gutenberg–Richter law) מבטא את הקשר בין המגניטודה M, והמספר הכולל של רעידות אדמה בכל אזור נתון ותקופת זמן, בגודל M לפחות/ומעלה.

$\log _{10}N=a-bM$

או

$N=10^{a-bM}$

כאשר N הוא מספר רעידות האדמה בגודל M ומעלה בתקופת זמן נתונה וכן a ו-b הם קבועים, כלומר זהים לכל הערכים של M ו-N.

מכיוון שהגודל הוא לוגריתמי, מקבלים התפלגות פָּארֶטוֹ. חוק גוטנברג-ריכטר נמצא בשימוש נרחב גם לניתוח פליטה אקוסטית בשל דמיון רב בין תופעת הפליטה האקוסטית לסייסמוגנזה.

החוק קרוי על שם הסייסמולוגים בנו גוטנברג וצ'ארלס ריכטר.

רקע

גרף התפלגות חוק GR לערכי b שונים.

הקשר בין מגניטודת רעידת אדמה ותדירות התרחשותן הוצע לראשונה על ידי צ'ארלס ריכטר ועמיתו בֶּנו גוּטנברג במאמר משנת 1944, שחקרו רעידות אדמה בקליפורניה, והוכלל על ידם במחקר כלל עולמי בשנת 1949. הקשר הזה בין גודל האירוע ותדירות ההתרחשות נפוץ מאד, אם כי הערכים של a ו-b עשויים להשתנות באופן משמעותי מאזור לאזור או לאורך זמן.

הערך b הוא בדרך כלל קרוב ל-1.0 באזורים פעילים סיסמית. משמעות הדבר היא כי עבור תדירות נתונה של אירועים במגניטודה 4.0 ומעלה למשל, יהיו פי 10 רעידות במגניטודה של 3.0 או יותר ופי 100 רעידות במגניטודה של 2.0 או יותר. קיימת שונות מסוימת של ערכי b בטווח משוער של 0.5 עד 2, בהתאם לרמה הסייסמית של האזור. דוגמה בולטת לכך היא במהלך נחילי רעידות אדמה, כאשר b יכול להגיע ל-2.5, ובכך מצביע על יחס גבוה מאוד של רעידות אדמה קטנות לגדולות.

עקומת ירידה הדרגתית או נִיחוּת (roll-off) בתדירות הרעידות העוקבות, בהשוואה לחוק GR אידיאלי.

יש ויכוח לגבי הפרשנות של כמה וריאציות מרחביות וזמניות של ערכי b שנצפו. הגורמים המצוטטים ביותר (במחקרים) כדי להסביר את הווריאציות הללו הם: הלחץ המופעל על החומר, העומק, מנגנון המוקד, הטרוגניות החוזק של החומר, והקרבה של מאקרו- כֶּשֶׁל. הירידה בערך ה-b שנצפתה לפני התרחשות כשל של דגימות מעוותות במעבדה, הובילה לטענה שזהו מבשר (חיזוי) למאקרו-כשל גדול. הפיזיקה הסטטיסטית מספקת מסגרת תאורטית להסבר היציבות של חוק גוטנברג-ריכטר עבור קטלוגים גדולים, והן את התפתחותו כאשר מתקרבים למאקרו-כשל, אך היישום לחיזוי רעידת אדמה אינו בהישג יד. לחלופין, ערך b שונה באופן משמעותי מ-1.0, עלול להצביע על בעיה במערך הנתונים; לְמָשָׁל, הוא לא שלם או מכיל שגיאות בחישוב המגניטודה.

ישנה ירידה ניכרת בערכי b עבור טווחי אירועים קטנים יותר, בכל הקטלוגים האמפיריים של רעידות אדמה. אפקט זה מתואר כנגזרת של ערך b, תיאור עקב ההצגה של העקומה הלוגריתמית של חוק GR שהופכת שטוחה יותר בקצה הגודל הנמוך שלה. הדבר עלול להיגרם במידה רבה מחוסר שלמות של כל מערך הנתונים, עקב חוסר היכולת לזהות ולאפיין אירועים קטנים. כלומר, רעידות אדמה רבות במגניטודה נמוכה, אינן מקוטלגות, מכיוון שפחות תחנות מזהות ומתעדות אותן, עקב ירידה ברמות האות האינסטרומנטלי לרעש. עם זאת, כמה מודלים מודרניים של דינמיקה של רעידת אדמה מנבאים דעיכה בהתפלגות גודל רעידות האדמה.

ערך a מייצג את הרמה הסייסמית הכוללת של האזור. ניתן לראות זאת ביתר קלות כאשר חוק GR מתבטא במונחים של מספר האירועים הכולל:

$N=N_{\mathrm {TOT} }10^{-bM}\$

כאשר

$N_{\mathrm {TOT} }=10^{a},\$

מבטא את המספר הכולל של האירועים מעל M=0. מאחר ש-$10^{a}\$ הוא המספר הכולל של האירועים,$10^{-bM}\$ חייב להיות ההסתברות של סך האירועים הללו.

ניסיונות מודרניים להבין את החוק כוללים תיאוריות של "בקרה עצמית" מאורגנת (SOC), או "זהות עצמית".

הכללה

מודלים חדשים מראים הכללה של המודל המקורי של גוטנברג-ריכטר. בין אלה הוא זה שפורסם על ידי Oscar Sotolongo-Costa ו-A. Posadas בשנת 2004, מתוכם R. Silva et al., 2006 הציג את הצורה המתוקנת הבאה,

$\log N_{>m}=\log N+\left({\frac {2-q}{1-q}}\right)\log \left[1-\left({\frac {1-q}{2-q}}\right)\left({\frac {10^{2m}}{a^{2/3}}}\right)\right]$

כאשר N הוא המספר הכולל של האירועים, a הוא קבוע פרופורציונלי ו-q מייצג את פרמטר "אי-ההרחבה" שהציג קונסטנטינו צאליס, כדי לאפיין מערכות שאינן מוסברות על ידי הצורה הסטטיסטית של בולצמן-גיבס למערכות פיזיקליות בשיווי משקל.

ניתן לראות במאמר שפורסם על ידי N. V. Sarlis, E. S. Skordas, and P. A. Varotsos ב-2010, שמעל סף גודל מסוים, משוואה זו מצטמצמת לצורת גוטנברג-ריכטר המקורית עם:

$b={\frac {2(2-q)}{q-1}}$

עוד התקבלה הכללה נוספת מפתרון המשוואה הלוגיסטית המוכללת. במודל זה נמצאו ערכים של פרמטר b עבור אירועים שתועדו ב:מרכז האטלנטי, האיים הקנריים, הרי מגלן וים יפן. המשוואה הלוגיסטית המוכללת המיושמת על פליטה אקוסטית בבטון על ידי Kishen & Burud (2019) הראתה, שערך b שהתקבל ממשוואה לוגיסטית כללית, עלה באופן מונוטוני עם הנזק, והתייחס אליו כערך b תואם נזק.

הכללה חדשה פורסמה באמצעות טכניקות סטטיסטיות בייסיאניות, ממנה מוצגת צורה חלופית לפרמטר b של גוטנברג-ריכטר. המודל יושם על רעידות אדמה עזות שהתרחשו בצ'ילה, משנת 2010 עד שנת 2016.

ראו גם

• סולם ריכטר - מידת רעש, מידת אדם - ספר הביוגרפיה של צ'ארלס ריכטר, פרקים: 7 (בנו גוטנברג, עמ' 82 - 101) ו-9 (סולם ריכטר, עמ' 112 - 131)