פונקציה לוגיסטית

פונקציה לוגיסטית או עקום לוגיסטי היא סיגמואיד המוגדר על ידי הפונקציה:

f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}

כאשר

$e$ הוא בסיס הלוגריתם טבעי (ידוע גם כקבוע אוילר),
$L$ הוא הערך המרבי של העקום,
$x_{0}$ ערך ה- $x$ של אמצע העקום, כלומר הנקודה שבה העקום מקבל את הערך $L/2$ ,

$k$ מגדיר את שיפוע העקום.^[1]

זוהי פונקציה ממשית $f:\mathbb {R} \to (0,L)$ דיפרנציאבילית (ובפרט רציפה וגזירה) בעלת נגזרת אי-שלילית.

הפונקציה קיבלה את שמה בשנים 1844–1845 על ידי המתמטיקאי הבלגי פייר פרנסואה ורהולסט שחקר אותה בהקשר של גידול אוכלוסייה. השלב הראשוני הוא בערך אקספוננציאלי, בהמשך כאשר מגיעים לרוויה הגידול קטן עד לעצירה. לפונקציה הלוגיסטית שימושים בתחומים מגוונים בהם סטטיסטיקה, הסתברות, רשתות עצביות מלאכותיות, ביולוגיה, ביו מתמטיקה, כימיה, דמוגרפיה, כלכלה, מדעי כדור הארץ, פסיכולוגיה מתמטית, סוציולוגיה, מדע המדינה, ובלשנות.

תכונות מתמטיות

הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית, המתקבלת במקרה הפרטי (k = 1, x₀ = 0, L = 1), נקראת גם סיגמואיד^[2]

{\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{1+e^{-x}}}\\&={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh({\tfrac {x}{2}})\\\end{aligned}}

עקב טבעה של הפונקציה המעריכית e^−x, לעיתים די לחשב את הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית עבור טווח קטן של מספרים ממשיים, למשל $[-6,+6]$ .

לפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית תכונת סימטריות:

1-f(x)=f(-x).

בהתאם, $x\mapsto f(x)-1/2$ היא פונקציה אי זוגית.

הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית קשורה לפונקציה היפרבולית:

f(x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh({\tfrac {x}{2}})

או

\tanh(x)=2\,f(2x)-1

.

על בסיס:

\tanh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1

.

נגזרת

נגזרת הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית:

$f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}$
${\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}$
${\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}=f(x)(1-f(x))$

הנגזרת של הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית מקיימת:

{\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {d}{dx}}f(-x).

פונקציה קדומה

את הפונקציה הקדומה של הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית ניתן לחשב בעזרת אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים $u=1+e^{x}$ , כיוון ש $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$ , אז (בהשמטת קבוע האינטגרציה):