זהות ארבעת הריבועים של אוילר

במתמטיקה, זהות ארבעת הריבועים של אוילר קובעת שמכפלה של שני מספרים, שכל אחד מהם הוא סכום של ארבעה ריבועים, היא סכום של ארבעה ריבועים.

זהות אלגברית

עבור כל זוג של מספרים המקיימים את התנאי עם פעולה קומוטטיבית, מתקיים:

$${\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[3mu]&\qquad =\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\right)^{2}\\[3mu]&\qquad \qquad +\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}.\end{aligned}}$$

לאונרד אוילר כתב זהות זו במכתב מ-4 במאי 1748 לכריסטיאן גולדבך (אמנם הוא השתמש בדרך אחרת להציג את הזהות). ניתן לאמת זאת באמצעות אלגברה בסיסית.

הזהות שימשה את ז'וזף-לואי לגראנז' כדי להוכיח את משפט ארבעת הריבועים שלו. ליתר דיוק, מהזהות נוובע שדי להוכיח את המשפט עבור מספרים ראשוניים.

משפט הורוויץ קובע זהות מהצורה,

$$\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\dots +a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\dots +b_{n}^{2}\right)=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+\dots +c_{n}^{2}$$

כאשר ה $c_{i}$ הם פונקציות ביליניאריות של $a_{i}$ ו $b_{i}$, והזהות אפשרית רק עבור 8,n = 1, 2, 4 .

קשר לחוג הקווטרניונים

ערך מורחב – חוג הקווטרניונים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

זהות פייסטר

פייסטר מצא זהות ריבועית אחרתː

אם $c_{i}$ הן פונקציות רציונליות של קבוצה אחת עם משתנים כלשהם, כך שלכל $c_{i}$ יש מכנה כלשהו, אזי הזהות אפשרית לכל מספר המקיים $n=2^{m}$ (ורק למספרים אלו).

כלומר, זהות נוספת של ארבעת הריבועים היא כדלקמן: $${\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[5mu]&\quad =\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}\right)^{2}\\&\quad \qquad +\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\end{aligned}}$$

כאשר $u_{1}$ ו $u_{2}$ ניתנים על ידי $${\begin{aligned}u_{1}&=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4}\\u_{2}&=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}\end{aligned}}$$

בנוסף, מתקיים:

$$u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)^{2}\left(b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)$$

ראו גם

• משפט הורוויץ (אלגברה)
• זהות בראהמגופטה-פיבונאצ'י ^[אנ']
• זהות שמונה ריבעים של דגן ^[אנ']
• משפט פייסטר
• זהות פייסטר^[אנ']
• משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'
• חוג הקווטרניונים

קישורים חיצוניים

• אוסף של זהויות אלגבריות (אורכב 06.03.2012 בארכיון Wayback Machine)
• Lettre CXV - מכתב מאוילר לגולדבך בארכיון אוילר(אורכב 09.03.2024 בארכיון Wayback Machine)
• זהות ארבעת הריבועים של אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)