התפלגות זטא

התפלגות זטא

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$s\in (1,\infty )$
תומך	$k\in \{1,2,\ldots \}$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}}$
תוחלת	${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}~{\textrm {for}}~s>2$
ערך שכיח	$1\,$
שונות	${\frac {\zeta (s)\zeta (s-2)-\zeta (s-1)^{2}}{\zeta (s)^{2}}}~{\textrm {for}}~s>3$
אנטרופיה	$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}\log(k^{s}\zeta (s)).\,\!$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	לא מוגדרת
פונקציה אופיינית	${\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{it})}{\zeta (s)}}$

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות זטא היא התפלגות הסתברות בדידה. אם X הוא משתנה אקראי המתפלג זטא עם פרמטר s, אז ההסתברות ש- X מקבל את הערך השלם החיובי k נתונה על ידי פונקציית ההסתברות

$f_{s}(k)={\frac {k^{-s}}{\zeta (s)}}$

כאשר ζ ( s ) היא פונקציית זטא של רימן (שאינה מוגדרת עבור s = 1).

פונקציית זטא של רימן היא סכום כל האיברים $k^{-s}$ עבור מספר שלם חיובי k. פונקציה זו נראית כגורם נירמול של התפלגות Zipf . המונחים "התפלגות Zipf" ו"התפלגות זטא" משמשים לעיתים קרובות לסירוגין. אבל בעוד שהתפלגות זטא היא התפלגות הסתברות בפני עצמה, היא אינה קשורה לחוק Zipf עם אותו מעריך.

הגדרה

התפלגות זטא מוגדרת עבור מספרים שלמים חיוביים $k\geq 1$, ופונקציית ההסתברותית שלה נתונה על ידי

$P(x=k)={\frac {1}{\zeta (s)}}k^{-s}$

כאשר $s>1$ הוא הפרמטר, ו $\zeta (s)$ היא פונקציית הזטה של רימן.

פונקציית ההתפלגות המצטברת נתונה על ידי

$P(x\leq k)={\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}}$ ,

כאשר $H_{k,s}$ הוא המספר ההרמוני המוכלל

$H_{k,s}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i^{s}}}$.

מומנטים

המומנט הגולמי ה- n מוגדר כערך התוחלת של Xⁿ :

$m_{n}=E(X^{n})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s-n}}}$

הטור מימין היא רק ייצוג של פונקציית זטא של רימן, אבל היא מתכנסת רק כאשר $s-n$ גדול מ 1. כלומר:

$m_{n}={\begin{cases}\zeta (s-n)/\zeta (s)&{\text{for }}n<s-1\\\infty &{\text{for }}n\geq s-1\end{cases}}$

היחס בין פונקציות זטא מוגדר היטב, אפילו עבור n > ס − 1 מכיוון שניתן לבצע המשכה אנליטית של הייצוג של פונקציית זטא כטור.

תוחלת, שונות, צידוד, גבנוניות

• תוחלת: ${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}$ (מוגדרת עבור $s>2$).
• שונות: ${\frac {\zeta (s)\zeta (s-2)-\zeta (s-1)^{2}}{\zeta (s)^{2}}}$ (מוגדרת עבור $s>3$).
• צידוד: ${\frac {\zeta (s-3)\zeta ^{2}(s)-3\zeta (s-1)\zeta (s-2)\zeta (s)+2\zeta ^{3}(s-1)}{\zeta (s-2)\zeta (s)-\zeta ^{2}(s-1)^{3/2}}}$ (מוגדר עבור $s>4$).
• גבנוניות: ${\frac {\zeta (s-4)\zeta ^{3}(s)-4\zeta (s-1)\zeta (s-3)\zeta ^{2}(s)+6\zeta ^{2}(s-1)\zeta (s-2)\zeta (s)-3\zeta ^{4}(s-1)}{\left[\zeta (s-2)\zeta (s)-\zeta ^{2}(s-1)\right]^{2}}}$ (מוגדרת עבור $s>5$).

פונקציה יוצרת מומנטים

הפונקציה יוצרת מומנטים מוגדרת כ

$M(t;s)=E(e^{tX})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{tk}}{k^{s}}}$

הטור היא למעשה ההגדרה של הפולילוגריתם, תקף עבור $e^{t}<1$ כך ש

$M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}{\text{ for }}t<0.$

מכיוון שביטוי זה לא מתכנס בקטע פתוח המכיל את $t=0$, הפונקציה יוצרת מומנטים לא קיימת.

המקרה s = 1

ζ (1) הוא אינסופי כסדרה ההרמונית, ולכן אין משמעות למקרה s = 1. עם זאת, אם A היא קבוצה כלשהי של מספרים שלמים חיוביים בעלת צפיפות, כלומר אם הגבול

$\lim _{n\to \infty }{\frac {N(A,n)}{n}}$

קיים, כאשר N(A, n), מספר האיברים של A הקטנים או שווה ל n, אז

$\lim _{s\to 1^{+}}P(X\in A)\,$

שווה לצפיפות זו.

הגבול האחרון יכול להתקיים גם במקרים מסוימים שבהם ל-A אין צפיפות. לדוגמה, אם A הוא קבוצת כל המספרים השלמים החיוביים שהספרה הראשונה שלהם היא d, אזי ל-A אין צפיפות, אבל למרות זאת הגבול השני שניתן לעיל קיים, והוא פרופורציוני ל

$\log(d+1)-\log(d)=\log \left(1+{\frac {1}{d}}\right)$

שהוא חוק בנפורד.

ראו גם

• התפלגות קושי
• התפלגות פארטו
• חוק זיף

קישורים חיצוניים

• התפלגות זטא, באתר MathWorld (באנגלית)