הפונקציה הריקה

במתמטיקה, הפונקציה הריקה היא פונקציה שהתחום שלה הוא הקבוצה הריקה. לכל קבוצה $A$ יש בדיוק פונקציה ריקה אחת $f_{A}:\emptyset \to A$. בשפת תורת הקטגוריות, עובדה זו משמעה שהקבוצה הריקה היא אובייקט התחלתי בקטגוריית הקבוצות $\mathbf {Sets}$.

הפונקציה הריקה לא מקבלת ערכים כלל – הגרף שלה הוא הקבוצה הריקה. היא מוגדרת היטב כפונקציה: התנאי, שלכל $x\in \emptyset$ מתאים $f_{A}(x)\in A$ יחיד, מתקיים באופן ריק. לעומת זאת, פונקציה $g:A\to \emptyset$ לעולם אינה קיימת, למעט במקרה $A=\emptyset$, אז $g=f_{\emptyset }$.

הפונקציה הריקה היא פונקציה חד-חד-ערכית וקבועה באופן ריק. היא על רק במקרה $A=\emptyset$.

קיומה של הפונקציה הריקה מצדיק את הטענה ש-$|A|^{0}=1$ לכל עוצמה $|A|$. זאת מכיוון, שלפי ההגדרה:

$|A|^{0}=|\{f\mid f:\emptyset \to A\}|=|\{f_{A}\}|=1$

טענה זו שקולה לטענה שמכפלה ריקה שווה ל-1.

בין קבוצות $A,B$ קיימת פונקציה חלקית ריקה יחידה; כלומר, פונקציה חלקית $f:A\to B$, שהגרף שלה ריק.

בתורת הקטגוריות, העובדה שלכל קבוצה יש פונקציה ריקה אחת פונה לכך שהקבוצה הריקה מהווה אובייקט התחלתי בקטגוריית הקבוצות, כלומר, ישנה פונקציה יחידה מהקבוצה הריקה לכל קבוצה אחרת.