תבנית ריבועית בינארית

במתמטיקה, תבנית ריבועית בינארית (באנגלית: Binary quadratic form) היא תבנית ריבועית בשני משתנים, $q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\,$, כאשר a ,b ,c הם המקדמים, שיכולים להיות מספרים שרירותיים. תבנית ריבועית עם מקדמים שלמים נקראת תבנית שלמה, או תבנית מעל (חוג המספרים) השלמים.

החלפת משתנים ליניארית (היינו, הצבת הביטויים $\ \alpha x+\beta y,\,\gamma x+\delta y$ במקום $\ x,\,y$) היא הפיכה אם יש הצבה דומה המחזירה את המשתנים המקוריים. שתי תבניות f,g הן שקולות אם אפשר לעבור מאחת לאחרת על ידי החלפת משתנים הפיכה: $g(x,y)=f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)$. החלפת משתנים כזו אינה משנה את התכונות המהותיות של התבנית, ולכן הבעיה היסודית בתבניות ריבועיות היא מיון התבניות עד כדי שקילות.

לשאלות המיון יש שתי וריאציות: מיון אלגברי, מעל שדה; ומיון אריתמטי, מעל חוג המספרים השלמים וכדומה. המיון האלגברי של תבנית ריבועית בשני משתנים אינו קשה. מעל שדה (ממאפיין שונה מ-2), התבנית q שקולה ל-$q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\,$ אם ורק אם a הוא ערך של התבנית, ו-$4ac-b^{2}$ שווה לדיסקרימיננטה של התבנית (עד כדי כפל בסקלר ריבועי). למשל, $\ 7x^{2}-3y^{2}$ שקולה ל-$\ x^{2}-5xy+y^{2}$ מעל הרציונליים, משום ש-$\ 1=7(1/2)^{2}-3(1/2)^{2}$ ו-$7\cdot (-3)=4\cdot 1\cdot 1-5^{2}$.

המיון האריתמטי של תבניות ריבועיות, אפילו מעל השלמים, הוא בעיה קשה בהרבה. גאוס עסק בהרחבה בהיבטים האריתמטיים של תבניות ריבועיות מעל המספרים השלמים; עבודתו זו הייתה הכוח המניע מאחורי היצירה של תורת המספרים האלגברית.

אריתמטיקה של תבניות ריבועיות בינאריות

מעל השלמים, החלפת המשתנים $\ (x,y)\mapsto (\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)$ צריכה להיות במקדמים שלמים ($\ \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {Z}$), וכדי שתהיה הפיכה נדרש $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$. לדוגמה, התבנית הריבועית $f=x^{2}+4xy+2y^{2}$ שקולה לתבנית $g=(-3x+2y)^{2}+4(-3x+2y)(x-y)+2(x-y)^{2}=-x^{2}+4xy-2y^{2}$.

תנאי השקילות שלעיל מגדירים יחס שקילות על אוסף התבניות הריבועיות האינטגרליות. נובע ממנו שאוסף התבניות הריבועיות מחולק למחלקות של שקילות, שנקראות מחלקות של תבניות ריבועיות. המונח אינווריאנט של מחלקה יכול להתייחס הן לפונקציה המוגדרת על מחלקות שקילות של תבניות (ומקבלת ערך קבוע) והן לתכונה משותפת שחולקות כל התבניות מאותה מחלקה.

בהגדרה זו לשקילות השתמש לגראנז'. מאז גאוס נוצרה ההבנה שנחוץ תנאי חזק יותר: $\alpha \delta -\beta \gamma =1$. אם יש צורך להבחין, התבניות שקולות כראוי (properly equivalent) אם הן שקולות לפי גאוס, ושקולות שלא-כראוי (improperly equivalent) אם הן שקולות במובן של לגראנז' (עם סימן 1-) אבל לא במובן של גאוס.

במינוח וסימון מטריציוני, כאשר ${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}$, היא מטריצה עם מקדמים שלמים בעלת דטרמיננטה 1, אז ההעתקה $f(x,y)\mapsto f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)$ מגדירה פעולת חבורה של $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ על אוסף התבניות הריבועיות הבינאריות; בעוד שהשקילות של לגראנז' מתאימה לפעולת החבורה הגדולה יותר, $\mathrm {GL} _{2}(\mathbb {Z} )$.

אם $f=ax^{2}+bxy+cy^{2}$, אז אינווריאנטים חשובים כוללים את:

• הדיסקרימיננטה $\Delta =b^{2}-4ac$.
• הגורם המשותף המרבי של a, b, c.

בעקבות גאוס, טרמינולוגיה ענפה פותחה לצורך סיווג מחלקות שקילות והתבניות ששייכות להן במונחי האינווריאנטים שלהן. תבנית עם דיסקרימיננטה $\Delta$ תיקרא מוחלטת (חיובית לחלוטין או שלילית לחלוטין, בהתאם לסימן של a) אם $\Delta <0$, מנוונת אם $\Delta$ הוא ריבוע טבעי ו-לא מוחלטת במקרה אחר. תבנית תיקרא פרימיטיבית אם המחלק המשותף המקסימלי של מקדמיה הוא 1, כלומר כאשר מקדמיה זרים בזוגות. דיסקרימיננטות מקיימות $\Delta \equiv 0,1{\pmod {4}}$.

ראו גם

• מספר מחלקה (תבניות ריבועיות)

מקורות

• D. A. Buell, "Binary Quadratic Forms - Classical Theory and Modern Computations", Springer-Verlag, 1989.

קישורים חיצוניים

• תבנית ריבועית בינארית, באתר MathWorld (באנגלית)