גדילה מעריכית

הגרף ממחיש כיצד הגדילה המעריכית (ירוק) עולה על גדילה ליניארית (אדום) וגם על גדילה ממעלה שלישית (כחול).

  גדילה מעריכית

  גדילה ממעלה שלישית

  גדילה ליניארית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

גדילה מעריכית או צמיחה אקספוננציאלית (באנגלית: Exponential Growth) היא תהליך שמתאר גדילה כמותית כתלות בזמן. גדילה זו מתרחשת כאשר הקצב הרגעי של השינוי הכמותי (אשר ניתן לתיאור על ידי הנגזרת של הפונקציה הכמותית), פרופורציונלי לכמות עצמה.

פונקציה המתארת גדילה מעריכית מיוצגת על ידי אקספוננט, זאת בשונה מפונקציות אחרות המתארות גדילה, כגון פרבולה או ישר. אם קבוע הפרופורציה המתאר את הגדילה הוא בעל סימן שלילי, אזי נהוג לומר כי מדובר בדעיכה מעריכית ולא בגדילה. במקרה שהמרחב מעליו מוגדרת הפונקציה הוא מרחב בדיד ולא רציף, ההתנהגות הפונקציונלית מכונה גדילה גאומטרית או דעיכה גאומטרית, מאחר שערכי הפונקציה ניתנים למיפוי כטור גאומטרי.

הנוסחה לגדילה מעריכית עבור משתנה $x(t_{n})$ שמוגדר מעל זמן בדיד (סדרת הרגעים $t_{n}=0,1,2...,n$) שקצב הגדילה שלו הוא $r$, נתונה על ידי: $x(t_{n})=x_{0}(1+r)^{t_{n}}$ כאשר $x_{0}$ מוגדר להיות ערך המשתנה $x$ בראשית הזמן.

גדילה שכזו מתקיימת בתחומים שונים בחיי היומיום, ובהם: הפצת זיהום נגיפי, תפיחה של חוב לאור ריבית דריבית וכן התפשטות של סרטונים ויראליים ברשת האינטרנט. במקרים אלה ונוספים, הגדילה המעריכית אינה נמשכת לעד, אלא מאטה החל משלב מסוים לאור קיומם של חסמים עליוניים חיצוניים (למשל, קיומה של אוכלוסייה סופית או מגבלות מרחביות שונות), והגדילה הופכת להיות גדילה לוגיסטית.

גדילה מעריכית מכונה לעיתים בשם השגוי "גדילה מהירה", אלא שגדילה מעריכית עשויה גם להיות איטית.

דוגמאות

ביולוגיה

מושבת E-coli שמציגה גדילה אקספוננציאלית תחת תנאים אופטימליים

• בתרביות של מיקרואורגניזמים, מספר הישויות יגדל בקצב אקספוננציאלי עד שחומרי המזון בתרבית יגמרו. בדרך כלל האורגניזם הראשון בתרבית מתפצל לשני אורגניזמים, שכל אחד מהם מתפצל לשניים כך שנוצרים ארבעה חדשים. התפצלותם של הארבעה מובילה ליצירת שמונה חדשים, וכן הלאה. מכיוון שגדילה מעריכי מצביע על קצב צמיחה קבוע, ההנחה היא שתאים הגדלים באופן אקספוננציאלי נמצאים במצב יציב. דוגמה לחלוקת אורגניזמים כזו היא תהליך יצירת עובר, שבו הזיגוטה מתחלקת בחלוקה מיטוטית לאחר ההפריה, ומספר התאים גדל בקצב אקספוננציאלי.
• בהנחה שאין חיסון זמין, נגיפים (למשל נגיף הקורונה או אבעבועות שחורות) בדרך כלל מתפשטים באוכלוסייה בקצב אקספוננציאלי. כל אדם נגוע יכול להדביק מספר אנשים חדשים.

פיזיקה

• מפולת ופריצה בחומר דיאלקטרי – כאשר אלקטרון חופשי מואץ במידה מספקת על ידי שדה חשמלי חיצוני הוא גורם לשחרור אלקטרונים נוספים בעת התנגשותו באטומים או מולקולות בחומר הדיאלקטרי. האלקטרונים השניוניים הללו מואצים אף הם, כך שנוצרים מספרים גדולים של אלקטרונים חופשיים. התוצאה היא גדילה מעריכית של אלקטרונים ויונים במערכת, מה שעשוי לגרום במהירות לפריצה מלאה של החומר הדיאלקטרי.
• תגובת שרשרת גרעינית (הרעיון מאחורי כורים גרעיניים ונשק גרעיני) – כל גרעין אורניום שעובר ביקוע מניב מספר אלקטרונים, שכל אחד מהם יכול להיבלע באטומי אורניום שכנים, ובכך גורמים להם להתבקע אף הם. אם ההסתברות לבליעת נייטרונים גדולה מההסתברות לבריחת נייטרונים (כתלות בצורה ובמסה של האורניום), קצב היצירה של נייטרונים ושל ביקועי אורניום הולכת וגדלה מעריכית, בתגובה בלתי נשלטת. יש אומרים, כי לאור קצב הגדילה המעריכי, בכל שלב בתגובה 99% מהאנרגיה ישתחרר במהלך 4.6 הדורות (השלבים בתגובה) האחרונים. סביר להניח בקירוב כי 53 הדורות הראשונים כפרק של השהייה שמוביל לפיצוץ אמיתי, שמשתרע על פני 3–4 דורות.
• משוב חיובי במהלך טווח ההתנהגות הליניארית של הגברה חשמלית או אלקטרוסטטית, עשוי להביא לגדילה מעריכית של האות המוגבר, על אף שאפקטי תהודה עשויים לגרום להעדפה של מספר רכיבי תדר מסוימים על פני רכיבים אחרים.

כלכלה

• צמיחה כלכלית מוגדרת באחוזים, מה שמרמז על גדילה מעריכית.
• ריבית דריבית על השקעה בריבית קבועה מספקת צמיחה מעריכית של ההון.
• תרמיות פירמידה בנויות כך שכל חבר חדש מצרף מספר חברים, וכתוצאה מכך הן מציגות צמיחה מעריכית. הדבר מביא לרווחים גבוהים אצל המשקיעים הראשונים בתרמית, ולהפסדים בקרב מספר רב של משקיעים שלא היו מראשוני המצטרפים.

מדעי המחשב

• כוח עיבוד של מחשבים פועל לפי חוק מור, שחוזה שצפיפות הטרנזיסטורים במעגלים משולבים, תוכפל כל שנה וחצי עד שנתיים.
• בתורת החישוביות קיימים אלגוריתמים בעלי סיבוכיות זמן אקספוננציאלית או בעלי סיבוכיות מקום אקספוננציאלית, ואלו דורשים כמות משאבים שגדלה מעריכית ביחס לגודל הקלט. אלגוריתמים בעלי סיבוכיות גבוהה הופכים בדרך כלל ללא ישימים כבר בגדלים קטנים מאוד של קלט. כדי שאלגוריתם יהיה ישים, מצופה ממנו להיות מסוגל להתמודד עם בעיות גדולות שגודל הקלט שלהן הוא עשרות אלפי ואף מיליוני סיביות בזמן סביר, מה שיכול להיות בלתי אפשרי בשימוש באלגוריתם מעריכי. ההשפעות של חוק מור לא מיטיבות עם המצב, מכיוון שהכפלת מהירות המעבד מאפשרת להגדיל את גודל הבעיה בקבוע. למשל, אם מעבד איטי יכול לפתור בעיות בגודל $x$ בזמן $t$, אזי מעבד מהיר פי שניים יכול לפתור רק בעיות בגודל $x+c$ (כאשר $c$ קבוע) בזמן $t$. כתוצאה מכך, אלגוריתמים בעלי סיבוכיות אקספוננציאלית לרוב אינם ישימים, והחיפוש אחר אלגוריתמים יעילים יותר הוא אחת מהמטרות המרכזיות בתחום מדעי המחשב. תחום נפרד במדעי המחשב עוסק בחקר אלגוריתמים קוונטיים שמאפשרים לפתור בעיות מסוימות בצורה יעילה יותר, ולעיתים אף מקטינים את סיבוכיות זמן הריצה של אלגוריתם מסיבוכיות מעריכית לסיבוכיות ישימה. דוגמה לכך היא האלגוריתם של שור לפירוק מספר לגורמים.

אינטרנט

גרף המתאר את מספר הצפיות היומי של הסרטון גנגנם סטייל

• תוכן אינטרנטי, כגון ממים או סרטונים, יכול להתפשט בצורה מעריכית. פעמים רבות מתארים את התוכן כ"וויראלי", כאנלוגיה להתפשטות נגיפים. השימוש המודרני במדיה החברתית מאפשר לאדם יחיד להעביר תוכן כלשהו לאנשים רבים בו זמנית. כל אחד מהאנשים הללו עשוי להמשיך ולהפיץ את התוכן לאנשים רבים וכן הלאה. כתוצאה מכך נגרמת התפשטות מהירה מאוד של התוכן. לדוגמה, הסרטון גנגנם סטייל הועלה ליוטיוב ב-15 ביולי 2012, והגיע למאות אלפי צפיות ביום הראשון, למיליונים ביום העשרים, ובמצטבר הוא נצפה על ידי מאות מיליונים בתוך פחות מחודשיים.

תיאור מתמטי

גדילה מעריכית עם הקבועים a=3, b=2, r=5

הגודל $x$ תלוי מעריכית בזמן אם ניתן לומר כי:

$x(t)=a\cdot b^{t/\tau }$

כאשר הקבוע $a$ מתאר את ערכו ההתחלתי של הגודל $x$:

$x(0)=a$

הקבוע $b$ הוא פקטור גדילה חיובי, בעוד $\tau$ הוא קבוע המתאר את משך הזמן הדרוש עבור $x(t)$ להכפיל את עצמו $b$ פעמים:

$x(t+\tau )=a\cdot b^{\frac {t+\tau }{\tau }}=a\cdot b^{\frac {t}{\tau }}\cdot b^{\frac {\tau }{\tau }}=x(t)\cdot b$

אם $\tau >0$ ו-$b>1$, אז מדובר בגדילה מעריכית. אם $\tau <0$ ו-$b>1$, או לחלופין $\tau >0$ ו-$0<b<1$ הרי שמדובר בדעיכה מעריכית.

דעיכה מעריכית עם הקבועים: a=24, b=1/2, r=5

דוגמה

אם אוכלוסיית חיידקים מכפילה את גודלה בכל עשר דקות, והאוכלוסייה ההתחלתית מונה חיידק אחד בלבד, כמה חיידקים יהיה בכלי לאחר שעה אחת?

מנתוני השאלה ניתן להסיק כי $a=1$ (זו האוכלוסייה ההתחלתית), $b=2$ (זהו קבוע ההכפלה), ו-$\tau =10$ (זהו משך הזמן הנדרש להכפלת האוכלוסייה פי 2).

נציב את המספרים בנוסחה לגדילה המעריכית ונקבל:

$x(t=60)=1\cdot 2^{60\min /10\min }=2^{6}=64$

כלומר בסך הכל יהיו 64 חיידקים מקץ שעה אחת.

זוגות רבים של הקבועים $b,\tau$ (כאשר $b$ הוא מספר אי-שלילי חסר יחידות ו-$\tau$ הוא קבוע בעל יחידות של זמן), מייצגים בדיוק את אותו קצב הגדילה, כאשר $\tau$ פרופורציונלי ל-$\log _{a}b$. מכאן, שניתן לכתוב את ההתנהגות הפונקציונלית של הגדילה באופנים רבים השקולים זה לזה, למשל:

$x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{\frac {t}{\tau }}=x_{0}\cdot 2^{\frac {2}{T}}=x_{0}\cdot (1+{\frac {r}{100}})^{\frac {t}{p}}$

כאשר $x_{0}$ היא הכמות ההתחלתית. בכל צעד הוחלף הבסיס המעריכי, ובהתאם נבחרו קבועי זמן אחרים:

• קבוע הגדילה $k$ מתאר את התדירות (מספר הפעמים ליחידת זמן) שבה הכמות גדלה פי פקטור $e$. בכלכלה, קבוע זה נקרא בשמות "תשואה לוגריתמית", או "תשואה בריבית רציפה".
• קבוע הגדילה $\tau$ מתאר את הזמן הנדרש עבור הכמות לגדול פי פקטור $e$.
• קבוע הגדילה $T$ מתאר את הזמן הנדרש עבור הכמות לגדול פי 2.
• הקבוע $r$ הוא אחוז הגדילה (מספר חסר ממדים) במהלך מחזור $p$ כלשהו.

וניתן לקשור בצורה חד-חד-ערכית בין כל הקבועים הללו (הקשר נגזר מהפעלת לוגריתם טבעי על כל אגפי השקילות):

$k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln(1+{\frac {r}{100}})}{p}}$

כאשר $k=0$ שקול ל-$r=0$ ול-$\tau ,T$ אינסופיים.

אם $p$ מתאר את יחידת הזמן בבעיה (למשל, דקות או שעות), אז השבר $t/p$ מייצג את מספר יחידות הזמן. במקום להשתמש בסימון $t$ עבור מספר יחידות הזמן (שהוא גודל חסר ממדים) במקום משתנה הזמן עצמו, ניתן להחליף את הגודל $t/p$ במשתנה $t$ בלבד (שבו הזמן מיוצג ביחידות אמיתיות). לשם האחידות, הסימון המוצע איננו בשימוש במסגרת ערך זה. כך שבמקרה לעיל, החלוקה ב-$p$ היא לא חלוקה נומרית גרידא, אלא המרה של מספר חסר ממדים למספר בעל ממדים.

שיטת קירוב פופולרית לחישוב זמן ההכפלה מתוך אחוז הגדילה, היא "כלל ה-70", לפיו $T\simeq 70/r$. בקירוב אחר, המונה הוא 72.

גרפים המשווים את זמני ההכפלה ואת זמני מחצית החיים של גדילות מעריכיות (בקווים בולטים) ושל דעיכות מעריכיות (קווים מקווקווים), וכן את קירובי ה-70 וה-72 שלהם.

ייצוג לוג-ליניארי

אם משתנה $x$ גדל בצורה אקספוננציאלית וניתן לייצוג על פי הנוסחה $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$, אזי $\log(x)$ גדל ליניארית, בכל בסיס לוגריתמי. ניתן לראות זאת באמצעות הוצאת לוגריתם משני אגפי המשוואה: $\log(x)=\log(x_{0})+t\cdot \log(1+r)$.

הדבר מאפשר למדל משתנה שגדל בצורה אקספוננציאלית באמצעות מודלים לוג-ליניאריים. לדוגמה, אם נדרשת הערכה אמפירית של קצב הגדילה של משתנה $x$ ביחס לזמן, ניתן לבצע רגרסיה ליניארית על הלוגריתם של המשתנה $x$, ביחס לזמן $t$.

המשוואה הדיפרנציאלית

מתוך הפונקציה המעריכית $x(t)=x_{0}e^{kt}$ ניתן לגזור את המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית הבאה:

${\frac {dx}{dt}}=kx$

דהיינו, השינוי הרגעי של הגודל $x$ ביחס לזמן $t$, פרופורציונלי לערכו של $x(t)$.

על ידי הפרדת משתנים וביצוע אינטגרל בשני אגפי המשוואה הדיפרנציאלית, ניתן לחזור לתצורה המקורית:

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x(0)}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x(0)}}&=kt.\end{aligned}}$

כך שאכן נקבל $x(t)=x_{0}e^{kt}$, ואילו $k<0$, הרי שלפנינו דעיכה מעריכית.

קצבי צמיחה אחרים

קיימים מספר סדרי גודל של קצבי צמיחה, כאשר כל הפונקציות ששייכות למשפחת צמיחה אחת תמיד תשאפנה לאינסוף מהר יותר מפונקציות ששייכות למשפחה אחרת, בהינתן שמשפחת הפונקציות שואפת מהר יותר לאינסוף. לדוגמה, בטווח הארוך, גדילה מעריכית מהירה יותר מכל גדילה ליניארית (הבסיס למלתוסיאניזם) וגם מכל גדילה פולינומית. כלומר, לכל $\alpha$ מתקיים $\lim _{t\rightarrow \infty }{t^{\alpha } \over ae^{t}}=0$. בפועל קיים רצף של קצבי צמיחה, וניתן למצוא קצבי צמיחה שנמצאים בין שני אלו מבחינת מהירות השאיפה שלהם לאינסוף, כלומר הם איטיים מצמיחה מעריכית, ומהירים מצמיחה ליניארית.

קיימים גם קצבי צמיחה מהירים יותר מקצב אקספוננציאלי. כאשר פונקציית צמיחה שואפת לאינסוף בזמן סופי, היא מכונה צמיחה היפרבולית . בין הצמיחה האקספוננציאלית לבין הצמיחה ההיפרבולית קיימות משפחות צמיחה נוספות ששואפות לאינסוף מהר מפונקציות אקספוננציאליות, למשל היפר-פעולות כמו טטרציה, והאלכסון של פונקציית אקרמן, $A(n,n)$.

צמיחה לוגיסטית

ערך מורחב – פונקציה לוגיסטית

בדוגמאות מציאותיות שמתנהגות בצורה אקספוננציאלית, הצמיחה האקספוננציאלית הראשונית לרוב אינה נמשכת לנצח. במקרים כאלו, לאחר תקופה כלשהי של גדילה בקצב אקספוננציאלי, קצב הגדילה מאט בהשפעת גורמים חיצוניים או סביבתיים. לדוגמה, הגידול של אוכלוסייה מסוימת עשוי להיות חסום על ידי גבול עליון בשל מגבלות משאבים. בשנת 1845, המתמטיקאי הבלגי פייר פרנסואה ורהולסט הציג לראשונה מודל מתמטי של צמיחה כזו, שנקראת "צמיחה לוגיסטית".

מגבלות המודל

מודלים של גדילה מעריכית המתארים תופעות פיזיקליות, ניתנים ליישום בצורה מוגבלת, שכן גדילה בלתי מוגבלת איננה תואמת את המציאות.

על אף שגדילה עשויה להיות מעריכית בתחילתה, התופעה המתוארת תתקדם לבסוף לאזור שבו פקטורי משוב שליליים יהפכו למשמעותיים (מה שיוביל למודל גדילה לוגיסטית), או שהנחות מובלעות של המודל המעריכי, כגון רציפות או משוב מיידי, יאבדו ממשמעותן.

דוגמה מובהקת למגבלות של מודל גדילה מעריכית, ניתן למצוא בחוק ריילי-ג'ינס לקרינת גוף שחור. עבור אורכי גל קצרים, עוצמת הקרינה שואפת לאינסוף, בניגוד לחוק שימור האנרגיה (מה שכונה בשם "הקטסטרופה של העל-סגול"). הניסוח המשלים לאורכי גל קצרים מצוי בחוק וין, והניסוח הכללי ביותר, המאחד את כלל אורכי הגל, מצוי בחוק פלאנק.

קושי בתפישת המושג

מחקרים מראים שבני אדם מתקשים להבין גדילה מעריכית. כאשר נוצר פער בין האופן שבו אדם מעריך גדילה מעריכית לבין ההשפעה שלה, נוצרת הטיה. להטייה זו יכולות להיות השלכות כספיות.

להלן מספר דוגמאות המדגימות את הקושי.

אורז על לוח שחמט

האגדה מספרת על ממציא משחק השחמט שהוזמן אל קיסר סין. הקיסר שאל מה ירצה כאות תודה על המשחק המופלא. לממציא השחמט הייתה בקשה מפתיעה: תן לי גרגרי אורז על משבצות לוח השחמט, כאשר בכל משבצת יש כמות כפולה של גרגרים מהקודמת לה - גרגר אורז על המשבצת הראשונה, שני גרגירים על השנייה, ארבעה במשבצת השלישית וכן הלאה. הקיסר שאל בתמהון: האם זה כל מה שתרצה? הממציא השיב לו בצניעות שדי לו בגרגירי האורז שביקש. הקיסר הסכים מיד לבקשתו. אך מה גדולה הייתה תדהמתו, כאשר משרתיו ועבדיו חזרו בבושת פנים וענו לו, כי אין בכל הארמון של הקיסר, ואף לא בארץ סין כולה, די אורז כדי למלא אחר הבקשה.

והנה הניסוח המתמטי של הסיפור:

ישנה בעיה ידועה במתמטיקה המתארת הנחת אורז על לוח שחמט, כך שעל המשבצת הראשונה מונח גרגר אורז אחד, על השנייה מונחים שניים, על השלישית ארבעה, על הרביעית שמונה וכך הלאה, כאשר בכל משבצת מספר הגרגרים מוכפל פי שניים ממספר הגרגרים במשבצת הקודמת. השאלה הנשאלת היא כמה גרגרים של אורז יהיה מונחים על לוח השחמט בסוף התהליך.

הבעיה מתארת גדילה אקספוננציאלית כך שעל הריבוע ה-$n$ מונחים $2^{n-1}$ גרגרים. בגלל הדרישה הזו, על הריבוע ה-21 במספרו יונחו מעל למיליון גרגירים, על הריבוע ה-41 יונחו מעל לטריליון ($10^{12}$) גרגרים ובמשבצות האחרונות כמות האורז המונחת תהיה גדולה יותר מכמות האורז הקיימת בעולם.

הבעיה הזו ממחישה את הקושי התפיסתי של גדילה אקספוננציאלית.

שושנת מים

חידה מתמטית נוספת שממחישה את הקושי התפישתי של גדילה אקספוננציאלית היא חידת התרבות שושנת המים.

החידה מתארת בריכה שמכילה צמח שושנת מים. הצמח מכפיל את שטחו בכל יום, וביום השלושים מכסה את הבריכה כולה. משיב החידה נדרש לומר באיזה יום כיסתה השושנה חצי משטח הבריכה. חשיבה אינטואיטיבית מובילה אדם לענות שהתשובה היא היום ה-15, על אף שהתשובה הנכונה היא היום ה-29.

ראו גם

• דעיכה מעריכית
• פונקציה מעריכית
• אקספוננט

קישורים חיצוניים

• הסבר מלווה בדוגמאות על גדילה מעריכית, אתר אאוריקה!
• היבטים מדעיים של גדילה מעריכית, אתר Science Direct (באנגלית)
• סרטון העוסק בפן המתמטי של התפשטות מגפה, יוטיוב
• גדילה מעריכית, באתר MathWorld (באנגלית)