אובייקט חופשי

במתמטיקה ובפרט בתורת הקטגוריות, אובייקט חופשי הוא מונח כללי לאובייקט שנוצר מאיברים כלשהם באופן "חופשי", כלומר מבלי שהם מקיימים יחסי גומלין כלשהם (מלבד ההכרחיים). נהוג גם לומר שהוא האובייקט ה"כללי ביותר" שנוצר מהם. למונח יש גם משמעות מדויקת בתורת הקטגוריות.

אובייקטים רבים הם חופשיים, למשל: מרחב וקטורי, חבורה חופשית וטופולוגיה דיסקרטית.

הגדרה

בתורת הקטגוריות, מגדירים אובייקט חופשי בעזרת התכונה האוניברסלית הבאה:

בקטגוריה C בעלת פונקטור נאמן F, אובייקט A נקרא חופשי ונוצר מקבוצה X (ביחס לשיכון e מ-X ל-‎ (F(A)‎, אם לכל אובייקט B ב-C ופונקציה f מ-X ל-(F(B קיים ויחיד מורפיזם g מ-A ל-B כך ש- f=F(g)∘e.

דוגמה לכך היא העובדה שהעתקה ליניארית בין מרחב וקטורי אחד לאחר, נקבעת ביחידות על פי הערכים שהיא מקבלת על הבסיס.

האינטואיציה להגדרה היא שאם יש לנו אובייקט A עם בסיס X, ואנחנו רוצים להוציא ממנו פונקציה (משמרת מבנה) למרחב אחר B, מצד אחד, אנחנו יכולים לתת לאיברי הבסיס כל ערך שנרצה (כי הם אינם משפיעים זה על זה), ומצד שני, ערכים אלו יקבעו את הפונקציה כולה (כי כל איבר אחר ב-A נוצר מאיברי X ולכן הפונקציה עליו נובעת מערכי הפונקציה על X).

בנייה

פעמים רבות אפשר לבנות אובייקט חופשי מקבוצת יוצרים בשתי דרכים: הראשונה, בעזרת כללי הבנייה המדויקים, והשנייה בעזרת מציאת כל האיברים והגדרת יחס שקילות עליהם על פי המבנה, ואז לקיחת מנה כדי לקבל את האובייקט הסופי.

לדוגמה, נניח שאנחנו רוצים לבנות חבורה חופשית מעל היוצרים a,b. כל האיברים בחבורה נוצרים על ידי כפל והופכי, לכן איברי החבורה מוכרחים להיות מילים מעל האלפבית a,b,a^-1,b^-1. כעת אפשר לנקוט בשתי דרכים:

• להסתכל על כל המילים שמקיימות שאין הופעות רצופות של a,a^-1 (בסדר כלשהו) או של b,b^-1. כעת יש גם להגדיר את הכפל: שרשור שתי המילים, וצמצום כל עוד אפשר.
• להסתכל על כל המילים, ולהגדיר ביניהן יחס שקילות: שתי מילים שקולות זו לזו אם אפשר להגיע מאחת לשנייה על ידי הורדה והוספה של זוגות כאלו. כעת, המנה של יחס השקילות היא החבורה המבוקשת.

הדרך השנייה בדרך כלל ישירה פחות, אך נוחה יותר.

דוגמאות

דוגמאות לאובייקטים חופשיים:

• חבורה חופשית בקטגוריית החבורות, כאשר המורפיזמים הם הומומורפיזמים של חבורות.
  • חבורה אבלית חופשית בקטגוריית החבורות אבליות, כאשר המורפיזמים הם הומומורפיזמים של חבורות.
• מונואיד חופשי בקטגוריית המונואידים, כאשר המורפיזמים הם הומומורפיזמים של מונואידים.
• מודול חופשי בקטגוריית המודולים, כאשר המורפיזמים הם הומומורפיזמים של מודולים.
• כל קבוצה בקטגוריית הקבוצות, כאשר מורפיזמים הם פונקציות (היוצרים הם אברי הקבוצה).
• מרחב וקטורי בקטגוריית המרחבים הווקטורים, כאשר המורפיזמים הם העתקות ליניאריות.
• סריג חופשי בקטגוריית הסריגים, כאשר המורפיזמים הם הומומורפיזמים של סריגים.
• טופולוגיה דיסקרטית בקטגוריית הטופולוגיות, כאשר המורפיזמים הם פונקציות רציפות.

ראו גם

• הצגה על ידי יוצרים ויחסים