תשואה לגודל

בכלכלה, תשואה לגודל הוא מונח המשמש להשוואה בין שיעור הגידול בתפוקת הייצור של הפירמה, לבין שיעור הגידול בתשומות (בכמויות גורמי הייצור). אם בהינתן הגדלה בכמות כל אחת מהתשומות בשיעור של %‏X, שיעור הגידול בתפוקה גבוה מ-%‏X, נאמר שלפירמה יש תשואה עולה לגודל. אם שיעור הגידול בתפוקה שווה בדיוק ל-%‏X, נאמר שלפירמה יש תשואה קבועה לגודל, ואם שיעור הגידול בתפוקה קטן מ-%‏X, נאמר שיש לה תשואה יורדת לגודל.

לדוגמה: אם חברה העוסקת בייצור נייר, ומשתמשת לשם כך בחשמל ובעץ בלבד (אלו הן התשומות היחידות שלה), יכולה להגדיל את תפוקתה פי 2.5 על ידי הגדלת כמות החשמל פי 2 וכמות העץ פי 2 - היא מקיימת תשואה עולה לגודל (כי 2.5 > 2). אם הגדלת כמויות החשמל והעץ פי 2 תגרום לתפוקה לגדול רק פי 1.5, אז היא מקיימת תשואה יורדת לגודל, ואם התפוקה תגדל בדיוק פי 2 - החברה מקיימת תשואה קבועה לגודל.

פירמה מסוימת יכולה לקיים תכונות שונות עבור רמות ייצור או עבור כמויות שונות של תשומות; היא יכולה לקיים תשואה עולה לגודל עבור רמות ייצור מסוימות, תשואה יורדת עבור רמות ייצור אחרות, ותשואה קבועה עבור רמות ייצור אחרות.

דוגמאות

דוגמה א

פירמה מייצרת באמצעות שתי תשומות: א ו-ב. הטבלה הבאה מסכמת את הכמות שהפירמה יכולה לייצר בהינתן שילובים שונים של כמויות של שתי התשומות:

תשומה א	תשומה ב	תפוקה
1	1	1
2	2	3
3	3	4
1	5	6

במעבר מהאפשרות של 1 מכל אחת משתי התשומות לאפשרות של 2 מכל אחת מהן, מתקיימת תשואה עולה לגודל - הכמות מכל אחת מהתשומות גדלה פי 2 (מ-1 ל-2), בעוד התפוקה גדלה פי 3 (מ-1 ל-3).

לעומת זאת, במעבר מהאפשרות של 2 מכל אחת משתי התשומות לאפשרות של 3 מכל אחת מהן, מתקיימת תשואה יורדת לגודל - הכמות של כל אחת מהתשומות גדלה פי 1.5 (3/2), בעוד התפוקה גדלה רק פי 1.333 (4/3).

יש לציין שגם אם נניח שמחירי שתי התשומות הם זהים - כך שהפירמה יכלה באותה עלות (כמו של 3 יחידות מכל תשומה) לרכוש יחידת א אחת ו-5 יחידות ב ולהשיג תפוקה של 6 (במקום של 4), עדיין זה לא היה משפיע על התשואה לגודל, כי זו אינה תלויה כלל במחירי התשומות.

דוגמה ב

נניח שפונקציית הייצור של הפירמה היא: $F(x,y)=x^{a}y^{b}$ כש-a ו-b מספרים חיוביים כלשהם (פונקציית ייצור מטיפוס קוב דאגלס ).

הגדלת כמות כל אחת מהתשומות פי $k$ תגרום לתפוקה לגדול פי $k^{(a+b)}$.

לכן: אם $a+b>1$, פונקציית הייצור מקיימת תשואה עולה לגודל בכל תחום הגדרתה; אם $a+b<1$, פונקציית הייצור מקיימת תשואה יורדת לגודל בכל תחום הגדרתה; ואם $a+b=1$, פונקציית הייצור מקיימת תשואה קבועה לגודל בכל תחום הגדרתה.

ניסוח פורמלי

בחלק זה נניח שפונקציית הייצור של פירמה נתונה על ידי: $F(X,Y)$, כלומר בהנחה של פונקציית ייצור עם שני משתנים (שתי תשומות), שני תשומות הנפוצות (לפחות בספרי הלימוד) הן כוח אדם $L$ והון $K$ ולכן נפוץ לראות את הפונקציה כ $F(K,L)$

ניתן באופן דומה להכליל את הנוסחאות וההגדרות עבור פונקציות ייצור עם מספר רב יותר של משתנים: $F(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},...)$.

בכל תחום ההגדרה (global returns to scale)

• פונקציית הייצור מקיימת תשואה עולה לגודל בכל תחום הגדרתה, אם $F(kX,kY)>kF(X,Y)$ - לכל $k$ גדול מ-1 ולכל $X,Y$ בתחום הגדרתה.
• פונקציית הייצור מקיימת תשואה יורדת לגודל בכל תחום הגדרתה, אם $F(kX,kY)<kF(X,Y)$ - לכל $k$ גדול מ-1 ולכל $X,Y$ בתחום הגדרתה.
• פונקציית הייצור מקיימת תשואה קבועה לגודל בכל תחום הגדרתה, אם $F(kX,kY)=kF(X,Y)$ - לכל $k$ חיובי ולכל $X,Y$ בתחום הגדרתה.

באופן נקודתי (pointwise returns to scale)

בהתייחס לנקודה מסוימת ($X_{0},Y_{0}$ מסוימים):

נגדיר תחילה פונקציה: $Q(k)=F(kX_{0},kY_{0})$. אם פונקציה זו היא גזירה, ניתן להגדיר תשואה לגודל נקודתית באופן הבא:

נתבונן על הגמישות הנקודתית בין התפוקה ($Q$) לבין $k$ בנקודה $k=1$, כלומר נתבונן על $E_{Q,k}$ בנקודה $k=1$:

• אם הגמישות גדולה מ-1 ($E_{Q,k}>1$) - פונקציית הייצור מקיימת תשואה עולה לגודל בנקודה $X_{0},Y_{0}$.
• אם הגמישות קטנה מ-1 ($E_{Q,k}<1$) - פונקציית הייצור מקיימת תשואה יורדת לגודל בנקודה $X_{0},Y_{0}$.
• אם הגמישות שווה ל-1 ($E_{Q,k}=1$) - פונקציית הייצור מקיימת תשואה קבועה לגודל בנקודה $X_{0},Y_{0}$.

פונקציית ייצור המקיימת תשואה עולה (יורדת) לגודל באופן נקודתי עבור כל נקודה בתחום הגדרתה, בהכרח מקיימת תשואה עולה (יורדת) לגודל בכל תחום הגדרתה.

ביחס למושגים אחרים בתורת היצרן

יתרון לגודל

יתרון לגודל וחיסרון לגודל הם מונחים המקבילים לתשואה עולה או יורדת לגודל בהתאמה, אם כי הם אינם זהים להם בהגדרה. יתרון או חיסרון לגודל משווים את שיעור השינוי בתפוקה ביחס לשיעור השינוי בהוצאות, ולכן הם תלויים בין היתר במחירי התשומות, בניגוד לתשואה לגודל שאינה תלויה בהם. מסיבה זו, בדוגמה א לעיל אם מחירי שתי התשומות זהים זה לזה (ונניח שווים שניהם ל-1 ש"ח ליחידה), מתקיים יתרון לגודל במעבר מתפוקה של 3 לתפוקה של 6; משום שהעלות גדלה פי 1.5 (מ-4 ש"ח לרכישת 2 יחידות מכל תשומה, ל-6 ש"ח לרכישת 1 יח' א ו-5 יח' ב), בעוד התפוקה גדלה פי 2.

מאמרים אקדמיים שפורסמו במהלך השנים הוכיחו שבהינתן שמחירי התשומות הם קבועים, קיים בפועל קשר הדוק בין יתרון לגודל לבין תשואה לגודל:

• הוכח שבנקודת ייצור מסוימת (כלומר, עבור כמויות מסוימות מדויקות של תשומות) מתקיימת תשואה עולה לגודל אם-ורק-אם מתקיים יתרון לגודל, ובאופן דומה הוכח לגבי תשואה יורדת לגודל וחיסרון לגודל.
• הוכח שאם בין שתי נקודות ייצור (שתי כמויות של תשומות, שכל אחת מהן מייצגת את האופציה הזולה ביותר לייצור הכמות המיוצרת) מתקיימת תכונת יתרון (חיסרון) לגודל, בהכרח פונקציית הייצור מקיימת תשואה עולה (יורדת) לגודל בחלק מתחום הגדרתה.

עם זאת, בהינתן שמחירי התשומות אינם קבועים, אלא לפירמה יש השפעה עליהם (ייתכן שעקב עלייה בביקוש, בחירת הפירמה לרכוש כמות גדולה יותר תגרום לעלייה במחירם, או ייתכן שדווקא אם היא תרכוש כמות גדולה היא תוכל לקבל הנחת כמות) - הקשר בין שני המושגים כבר אינו כל כך הדוק.

תפוקה שולית

תשואה עולה או קבועה לגודל אינה עומדת בסתירה לתפוקה שולית פוחתת; זאת משום שתפוקה שולית פוחתת מתייחסת לשינוי בכמות של תשומה (גורם ייצור) אחת בעוד האחרות נשארות קבועות, בעוד התשואה לגודל נבדקת על ידי שינוי כמויות כל התשומות ביחד באותו שיעור. למשל, בדוגמה ב לעיל, אם $a+b>1$, אבל $a<1$ ו-$b<1$, אז מתקיימת תשואה עולה לגודל על אף שעבור כל אחת משתי התשומות מתקיימת תפוקה שולית פוחתת.

מצד שני, אם עבור כל אחת מהתשומות התפוקה השולית היא עולה בכל תחום הגדרתה, בהכרח מתקיימת תשואה עולה לגודל.

לקריאה נוספת

• איתן אבניאון, יאיר זימון ואשר הלפרין, לקסיקון לכלכלה (עמוד 482), תל אביב: איתאב, מהדורה שנייה, 2004
• אורי בן ציון ודינה רותם, מבוא לכלכלה בגישה כמותית : יסודות מיקרו-כלכלה (עמודים 83-79), הוצאת מכלול, 1981

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תשואה לגודל בוויקישיתוף

• תשואה לגודל, במילון אתר "מעות"
• תשואה לגודל, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)