תיקון רציפות

בתורת ההסתברות, תיקון רציפות היא טרנספורמציה המופעלת על משתנה מקרי בעל התפלגות בדידה, כשמנסים לקרב אותה באמצעות התפלגות רציפה, על מנת לשפר את הקירוב.

לפני שתוכנות סטטיסטיות בעלות יכולת חישוב חזקה היו זמינות, לתיקוני רציפות היה תפקיד חשוב ביישומים של מבחנים סטטיסטיים בהם המשתנה הנבדק היה בעל התפלגות בדידה, כמו התפלגות בינומית או פואסונית; בפרט הייתה להן חשיבות רבה עבור חישובים שנעשו באופן ידני.

כשרמת דיוק גבוהה במיוחד אינה נדרשת, חישובים הנעשים במחשב עבור פרמטרים מסוימים יכולים להסתמך גם היום על תיקון הרציפות, וכך לשפר את הדיוק (לעומת אי-שימוש בתיקון רציפות) תוך שמירה על פשטות התוכנה ועל מהירות הריצה שלה.

דוגמאות

התפלגות בינומית

נניח כי $X\sim {\textrm {Bin}}\left(n,p\right)$ ‏(X מתפלג בינומית עם פרמטרים n ו-p). אז לכל $x\in \{0,1,2,...n\}$ מתקיים:

$P\left(X\leq x\right)=P\left(X<x+1\right)$

אם $np$ ו-$np(1-p)$ גדולים מספיק (נהוג להחשיב 5 ומעלה כגדולים מספיק), אז ההסתברות לעיל ניתנת לקירוב טוב על ידי:

$P\left(Y\leq x+1\right)$     או על ידי:     $P\left(Y\leq x\right)$

עבור $Y\sim {\textrm {N}}\left(np,np(1-p)\right)$ ‏(Y מתפלג נורמלית עם פרמטרים np ו-(np(1-p. לכן קירוב זה נקרא גם "קירוב נורמלי"). כל זה נכון גם בלי תיקון רציפות.

תיקון רציפות פירושו לקחת את הערך האמצעי בין x לבין x+1, כלומר לקחת את x+0.5, וכך נקבל קירוב שהוא יותר מוצלח:

$P\left(Y\leq x+{\frac {1}{2}}\right)$

ההחסרה של ${\frac {1}{2}}$ ‏ מ-$x+1$ או ההוספה של ${\frac {1}{2}}$ ‏ ל-$x$ היא למעשה תיקון הרציפות.

באופן דומה, אם נרצה לקבל קירוב עבור:

$P\left(X\geq x\right)=P\left(X>x-1\right)$

נשתמש ב:

$P\left(Y\geq x-{\frac {1}{2}}\right)$

התפלגות פואסון

נניח כי $\ X\sim {\textrm {Poisson}}\left(\lambda \right)$. ‏ (X מתפלג פואסונית עם פרמטר λ) תוצאת הקירוב הנורמלי היא:

$P\left(X\leq x\right)=P\left(X<x+1\right)\approx P\left(Y\leq x+{\frac {1}{2}}\right)$

עבור $Y\sim {\textrm {N}}\left(\lambda ,\lambda \right)$.

ראו גם

• משפט הגבול המרכזי

קישורים חיצוניים

• תיקון רציפות, באתר MathWorld (באנגלית)