תיכושקף

בגאומטריה, תיכושְקַף (באנגלית: symmedian) הוא ישר המתקבל משיקוף של תיכון במשולש סביב חוצה הזווית מאותו הקודקוד.

שלושת התיכושקפים במשולש נפגשים בנקודה אחת שנקראת נקודת למואן, שהיא הצמודה האיזוגונלית לנקודת מפגש התיכונים. רוס הונסברגר קרא לקיום שלה "אחד מיהלומי הכתר בגאומטריה מודרנית".^[^{דרוש מקור]}

איזוגונליות

לעיתים מאוד קרובות בגאומטריה, אפשר לקחת ישרים היוצאים מקודקוד במשולש (צ'ביאנות), לשקף אותם ביחס לנקודת מפגש התיכונים לחוצי הזוויות, וגם לישרים החדשים יהיו תכונות מעניינות. לדוגמה, אם שלוש צ'ביאנות נחתכות בנקודה P, גם הישרים המשוקפים נחתכים בנקודה, הידועה כצמודה איזוגונלית של P.

מקרה פרטי של הצמדה איזוגונלית הוא התיכושקפים: גם הם שיקופים של צ'ביאנות (התיכונים במקרה זה) ולכן הם נפגשים בנקודה, שהיא הצמודה האיזוגונלית למפגש התיכונים. נקודת זו נקראת נקודת למואן.

למת התיכושקף

ניסוח הלמה

יהי $ABC$ משולש. נבנה נקודה $D$ על ידי חיתוך המשיקים מ- $B,C$ למעגל החוסם של המשולש $ABC$ . אז $AD$ הוא התיכושקף מנקודה $A$ של המשולש $ABC$ .^[1]

למת התיכושקף נותנת לנו הגדרה שקולה לתיכושקף. במקרים רבים, נוח יותר לעבוד עם ההגדרה השקולה הנ"ל, ולא עם ההגדרה המקורית.

הוכחות ללמת התיכושקף

הוכחה ראשונה (חישוב טריגונומטרי)

השיקוף של $AD$ ביחס לחוצה הזווית מ- $A$ חותך את $BC$ בנקודה הנקרא לה $M'$ . אז ממשפט הסינוסים:

${\frac {BM'}{M'C}}={\frac {AM'\cdot {\frac {sin\angle {BAM'}}{sin\angle {ABM'}}}}{AM'\cdot {\frac {sin\angle {CAM'}}{sin\angle {ACM'}}}}}={\frac {sin\angle {BAM'}}{sin\angle {ACD}}}\cdot {\frac {sin\angle {ABD}}{sin\angle {CAM'}}}={\frac {sin\angle {CAD}}{sin\angle {ACD}}}\cdot {\frac {sin\angle {ABD}}{sin\angle {BAD}}}={\frac {CD}{AD}}\cdot {\frac {AD}{BD}}=1$

הוכחה שנייה (הצמדה איזוגונלית)

נגדיר את $D'$ כצמודה האיזוגונלית של $D$ . ניתן לראות כי השיקוף של $CD$ ביחס לחוצה הזווית של $C$ הוא ישר המקביל ל- $AB$ . אותו הדבר נכון ל- $BD$ , ולכן $ABD'C$ מקבילית. מזה נקבל כי $AD'$ הוא התיכון, אבל $AD'$ הוא השיקוף של $AD$ ביחס לחוצה הזווית מ- $A$ .

הוכחה שלישית (חשבון זוויות)

לפי דרגת נקודה, מתקיים $BD=CD$ . לכן, קיים מעגל $\omega$ עם מרכז ב- $D$ שעובר בנקודות $B,C$ . נסמן ב- $E,F$ את נקודות החיתוך של $\omega$ עם המשכי הצלעות $AB,AC$ בהתאמה. מתקיים:

$\angle BDE=180^{\circ }-2\cdot \angle DBE=180^{\circ }-2\cdot (180^{\circ }-\angle ABC-\angle CBD)=180^{\circ }-2\cdot (180^{\circ }-\angle ABC-\angle BAC)=180^{\circ }-2\cdot \angle ACB$

ובאופן סימטרי, נוכל לקבל ${\textstyle \angle CDF=180^{\circ }-2\cdot \angle ABC}$ . מכיוון ש- ${\textstyle \angle BCD=\angle CBD=\angle BAC}$ , מתקיים ${\textstyle \angle BDC=180^{\circ }-2\cdot \angle BAC}$ . אז קיבלנו:

$\angle EDF=\angle BED+\angle BDC+\angle CDF=540^{\circ }-2\cdot (\angle ABC+\angle BAC+\angle ACB)=540^{\circ }-2\cdot 180^{\circ }=180^{\circ }$ כלומר, הנקודות ${\textstyle E,D,F}$ הן על ישר אחד.

מכיוון שהנקודות $B,C,F,E$ על מעגל, מתקיים שהמשולשים $ABC$ ו- $AFE$ דומים, והם מתקבלים זה מזה על ידי שיקוף סביב חוצה הזווית של $\angle BAC$ והומותטיה. לכן התיכון לצלע $BC$ במשולש $ABC$ הוא השיקוף סביב חוצה הזווית של $\angle BAC$ של התיכון לצלע $EF$ במשולש $AFE$ , וזהו $AD$ . לכן $AD$ הוא השיקוף סביב חוצה הזווית של התיכון, כלומר $AD$ הוא התיכושקף.