מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פונקציה
f
{\displaystyle f}
מ-
X
{\displaystyle X}
ל-
Y
{\displaystyle Y}
. קבוצת הנקודות באליפסה האדומה מייצגת את
X
{\displaystyle X}
, התחום של
f
{\displaystyle f}
.
במתמטיקה , תחום של פונקציה הוא קבוצת כל הקלטים (ארגומנטים ) שהפונקציה מקבלת. התחום של פונקציה
f
{\displaystyle f}
מסומן כ-
dom
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {dom} (f)}
, בעקבות המינוח באנגלית : Domain .
עבור פונקציה
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
, התחום של
f
{\displaystyle f}
הוא
X
{\displaystyle X}
(והטווח של
f
{\displaystyle f}
הוא
Y
{\displaystyle Y}
).
כאשר
X
{\displaystyle X}
ו-
Y
{\displaystyle Y}
הן תתי-קבוצות של
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, ניתן לצייר גרף של הפונקציה
f
{\displaystyle f}
במערכת צירים קרטזית . במקרה זה, התחום מיוצג כהטלה של גרף הפונקציה על ציר ה-
x
{\displaystyle x}
.
בפונקציה
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
הקבוצה
Y
{\displaystyle Y}
נקראת טווח , וקבוצת הערכים שהפונקציה מוציאה נקראת תמונה . התמונה היא תמיד תת-קבוצה של הטווח. אם התמונה שווה לטווח אז
f
{\displaystyle f}
היא פונקציה על .
ניתן לצמצם כל פונקציה לתת-קבוצה של התחום שלה. אם
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
הצמצום של
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
ל-
A
{\displaystyle A}
, כאשר
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
ייכתב כך:
f
|
A
:
A
→
Y
{\displaystyle \left.f\right|_{A}\colon A\to Y}
.
הגרף של פונקציית השורש הריבועי הממשית
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
. התחום שלה מורכב מכל המספרים הממשיים האי-שליליים.
אם פונקציה
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
אינה מוגדרת עבור חלק מערכי התחום
X
{\displaystyle X}
, אז
f
{\displaystyle f}
היא פונקציה חלקית , וקבוצת הערכים עליה היא מוגדרת נקראת תחום ההגדרה של
f
{\displaystyle f}
.
הפונקציה
f
{\displaystyle f}
המוגדרת על ידי
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
לא מוגדרת כאשר
x
=
0
{\displaystyle x=0}
. לכן תחום ההגדרה של
f
{\displaystyle f}
הוא קבוצת המספרים הממשיים למעט
0
{\displaystyle 0}
, ניתן לסמן זאת
R
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}
או
{
x
∈
R
|
x
≠
0
}
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} |\ x\neq 0\}}
.
הפונקציה המפוצלת
f
{\displaystyle f}
המוגדרת על ידי
f
(
x
)
=
{
1
/
x
x
≠
0
0
x
=
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}}
תחום ההגדרה קבוצת המספרים הממשיים (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
).
לפונקציית השורש הריבועי
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
תחום ההגדרה של קבוצת המספרים האי שליליים, המסומנת על ידי
R
≥
0
{\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}
או הקטע
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
או הקבוצה
{
x
∈
R
|
x
≥
0
}
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} |\ x\geq 0\}}
.
לפונקציה הטריגונומטרית מסומנת
tan
(
x
)
{\displaystyle \tan(x)}
, יש את תחום ההגדרה קבוצת כל המספרים הממשיים שאינם מהצורה
π
2
+
k
π
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi }
עבור
k
{\displaystyle k}
מספר שלם כלשהו.
לפעמים נוח בתורת הקבוצות לאפשר לתחום של פונקציה להיות מחלקה נאותה X . במקרים אלו אין דבר כזה כמו השלשה הסדורה (X , Y , G ) . עם הגדרה כזו, לפונקציות אין תחום, אם כי חלק מהכותבים עדיין משתמשים בו באופן לא פורמלי לאחר הצגת פונקציה מהצורה
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
.