תורת שדות המחלקה

במתמטיקה, תורת שדות המחלקה מתארת את ההרחבות האבליות (כלומר, הרחבות גלואה עם חבורת גלואה אבלית) של שדות מקומיים ושדות גלובליים. חלק אחד של התורה מוקדש למיון ההרחבות האבליות; חלק נפרד של התורה, ברובו עדיין לא ידוע, מוקדש לבניות מפורשות שלהן.

ההרחבה האבלית המקסימלית

יהא $K$ שדה מקומי או שדה גלובלי ויהא $K^{s}$ סגור פריד של $K$ . חוץ מהמקרים $K=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ יש אינסוף הרחבות אבליות של $K$ . הניסוחים המודרניים של תורת שדות המחלקה מאגדים את כל הטענות על ההרחבות האבליות הללו בעזרת ההרחבה האבלית המקסימלית, $K^{ab}$ , שהיא איחוד כל ההרחבות האבליות של $K$ בתוך $K^{s}$ .

ההרחבה $K^{ab}/K$ היא הרחבת גלואה אינסופית, וחבורת גלואה שלה, $Gal(K^{ab}/K)$ , היא לכן חבורה פרו-סופית. החבורה $Gal(K^{ab}/K)$ היא האבליזציה של חבורת גלואה האבסולוטית $Gal(K^{s}/K)$ .

במונחים הללו, משפט קרונקר-ובר, שהוא אחד המשפטים הראשונים בתורת שדות המחלקה, הוא הטענה ש- $\mathbb {Q} ^{ab}/\mathbb {Q}$ היא ההרחבה הנוצרת על ידי כל שורשי היחידה. כמסקנה, מקבלים איזומורפיזם

$Gal(\mathbb {Q} ^{ab}/\mathbb {Q} )\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ ,

כאשר המכפלה היא על כל המספרים הראשוניים ו- $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ הוא חבורת ההפיכים בחוג השלמים הp-אדים.

תורת שדות המחלקה המקומית

תורת שדות המחלקה המקומית מתארת את ההרחבות האבליות של שדות מקומיים. מכיוון שלשדה $\mathbb {C}$ אין הרחבות אלגבריות לא טריביאליות ולשדה $\mathbb {R}$ יש רק הרחבה אלגברית לא טריביאלית אחת, המיון של הרחבות אבליות לשדות הארכימדים ברור.

יהא $K$ שדה מקומי לא ארכימדי עם חוג הערכה $O_{K}$ . המשפט המרכזי של תורת שדות המחלקה המקומית הוא שהחבורה $Gal(K^{ab}/K)$ היא ההשלמה הפרו-סופית של החבורה הכפלית $K^{\times }$ . ליתר דיוק, יש הומומורפיזם $\theta _{K}:K^{\times }\rightarrow Gal(K^{ab}/K)$ , שהוא השיכון של $K^{\times }$ בהשלמה הפרו-סופית שלו. מכיוון ש- $K^{\times }\cong O_{K}^{\times }\times \mathbb {Z}$ , נובע ש- $Gal(K^{ab}/K)\cong O_{K}^{\times }\times {\widehat {\mathbb {Z} }}$ , כאשר ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ היא ההשלמה הפרו-סופית של השלמים.

ההעתקה $\theta _{K}$ נקראת העתקת ארטין המקומית.

תורת שדות המחלקה הגלובלית

תורת שדות המחלקה הגלובלית מתארת את ההרחבות האבליות של שדות גלובלים. התיאור במקרה זה פחות מפורש מהמקרה המקומי ונעשה דרך חוג האדלים של השדה.

אם $\mathbf {A} _{K}$ מסמן את חוג האדלים של $K$ , יש שיכון $K^{\times }\rightarrow \mathbf {A} _{K}^{\times }$ בין חבורות ההפיכים של $K$ ושל $\mathbf {A} _{K}$ . התמונה של $K^{\times }$ היא דיסקרטית והמנה $K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{K}^{\times }$ נקראת חבורת מחלקות האידלים.

המשפט המרכזי של תורת שדות המחלקה הגלובלית הוא שהחבורה $Gal(K^{ab}/K)$ איזומורפית להשלמה הפרו-סופית של החבורה $K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{K}^{\times }$ . ליתר דיוק, קיים הומומורפיזם $\theta _{K}:K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{K}^{\times }\rightarrow Gal(K^{ab}/K)$ שהוא ההומומורפיזם של ההשלמה הפרו-סופית. ההומומורפיזם $\theta _{K}$ נקרא העתקת ארטין הגלובלית.

במקרה שהמציין של $K$ הוא אפס, רכיב הקשירות של 0 בחוג $\mathbf {A} _{K}$ הוא מהצורה $\mathbb {R} ^{d_{1}}\times \mathbb {C} ^{d_{2}}$ ורכיב הקשירות של 1 בחבורה $\mathbf {A} _{K}^{\times }$ הוא מהצורה $\mathbb {R} _{+}^{d_{1}}\times (\mathbb {C} ^{\times })^{d_{2}}$ . לכן רכיב הקשירות של 1 בחבורת מחלקות האידלים גם הוא $\mathbb {R} _{+}^{d_{1}}\times (\mathbb {C} ^{\times })^{d_{2}}$ . רכיב הקשירות הזה שווה לגרעין של העתקת ארטין הגלובלית. במקרה שהמציין של $K$ חיובי, העתקת ארטין הגלובלית חד חד ערכית.

הקשר בין העתקות ארטין

עבור שדה גלובלי $K$ , העתקת ארטין הגלובלית $\theta _{K}$ והעתקות ארטין המקומיות $\theta _{K_{v}}$ קשורות על ידי הנוסחה

$\theta _{K}((a_{v})_{v\in V})=\prod _{v\in V}\theta _{K_{v}}(a_{v})$

שבה $V$ הוא אוסף ההערכות של $K$ , $(a_{v})_{v\in V}$ הוא איבר של $\mathbf {A} _{K}^{\times }$ , האיברים $\theta _{K_{v}}(a_{v})\in Gal(K_{v}^{ab}/K_{v})$ מזוהים עם איברים בחבורה $Gal(K^{ab}/K)$ על ידי העתקת הצמצום $Gal(K_{v}^{ab}/K_{v})\rightarrow Gal(K^{ab}/K)$ , והמכפלה מוגדרת היטב מכיוון שלכמעט כל הערכה $v$ , מתקיים $\theta _{K_{v}}(a_{v})=1$ .