שיחה:פונקציה יוצרת

מה זה עושה ובשביל מה זה טוב?

מישהו יכול להזכיר לי בשביל מה זה טוב הפונקציה היוצרת הזו? זכור לי שזה היה שימושי בלחשב כל מיני פונקציותץ חשובות, בעזרת כל מיני תכונות שמתגלות בגזירה. אבל המוח שלי כבר חלוד, והערך כמו שהוא לא עוזר להסיר את החלודה. eman • שיחה 01:02, 6 אפריל 2006 (UTC)

על קצה המזלג: בקומבינטוריקה מתעניינים בד"כ בתכונות המקדמים טור הפונקציה היוצרת, ואילו בהסתברות מתעניינים בד"כ בנגזרות הטור (בד"כ של יוצרת המומנטים או ההסתברות) על מנת לחשב מומנטים שונים (וקומולנטים) של פונ' ההסתברות. --Nibb1er 05:16, 7 אפריל 2006 (UTC)

זה נחמד אבל בעצם לא אומר הרבה כי אין דוגמאות, מה גם שההרחבה צריכה לבוא בערך עצמו. גדי אלכסנדרוביץ' 09:01, 7 אפריל 2006 (UTC)

אפשר אולי לנצל את ההזדמנות לדיון - אולי כדאי להפריד בתוך הערך (ע"י כותרות) שימושים "הסתברותיים" ושימושים "קומבינטוריים".

@ אם לעוד מישהו יש זמן לעזור - אפשר לנסות לשכתב/להרחיב/לעדכן את הערך...--Nibb1er 10:32, 7 אפריל 2006 (UTC)

אני גם חושב שכדאי להפריד את השימושים בתורת ההסתברות מאלה בקומבינטוריקה (שם זו יותר עבודה עם טורים פורמליים) - לטעמי הם שונים למדיי. Harel - שיחה 10:38, 7 אפריל 2006 (UTC)

הופכי של פונקציה יוצרת סטנדרטית

אם ההופכי של פונקציה יוצרת סטנדרטית $f\left(x\right)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }{a_{i}x^{i}}$ הוא ${\frac {1}{f\left(x\right)}}=\sum \limits _{j=0}^{\infty }{b_{j}x^{j}}$, אז המקדמים ניתנים לחישוב כך: $b_{0}={\frac {1}{a_{0}}}$ וגם $b_{k}=-{\frac {\sum \limits _{i=0}^{k-1}{a_{k-i}b_{i}}}{a_{0}}}$.

--כרוז • שיחה 14:44, 16 באוקטובר 2007 (IST)

שאלה

בחלק מהערכים שעוסקים על סדרות, ראיתי שם שכתוב את התוצאה של פונקציה יוצרת שאיבריה הם מהסדרה, כמו לדוגמה: (במספרי בל): $\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}=e^{e^{z}-1}$

שאלתי היא: איך מגיעים לנוסחה כזאת?

יש שיטות רבות. לפעמים התוצאה נובעת ממשוואה דיפרנציאלית, לפעמים מוכיחים אותה על-ידי פיתוח טיילור, לפעמים היא מתקבלת ממשחק בטורים מוכרים, ולפעמים ההוכחה באינדוקציה. יש גם משפטים קומבינטוריים כללים על הקשר בין חלוקות לקבוצות שמרכיבים מהן. ראה, למשל, הספר Generatingfunctionology של Herbert Wilf. עוזי ו. 18:15, 7 בנובמבר 2007 (IST)

שלוש הצעות להרחבה אפשרית

1. הסבר על הפורמליזם המדויק של פונקציות יוצרות ומדוע הוא תקין. בפרט, מדוע שוויון כמו $\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}$ הוא נכון (בחוג של טורי חזקות פורמליים) בלי קשר להתכנסות ובלי להציב ערכים באיקס.
2. הסבר על האופנים השיטתיים שבהן ניתן למצוא פונקציה יוצרת לאובייקט מורכב מתוך הפונקציות היוצרות של אובייקטים פשוטים (מה המשמעות הקומבינטורית של חיבור, כפל, טור חזקות אינסופי, העלאה בחזקה וכו'). תוצאה יפה במיוחד שכדאי לצטט היא זו שמצביעה על האופן שבו פונקציה יוצרת עבור שפה רגולרית מתקבלת מהמטריצה של אוטומט סופי דטרמיניסטי עבורה.
3. הסבר על האופן שבו ניתוחים אנליטיים מסייעים בהבנת הסדרה שהפונקציה היוצרת מתארת (למשל איך מנוסחת קושי-הדמר מקבלים את קצב הגידול האקספוננציאלי).

בלי אלו לדעתי הערך גורם יותר נזק מתועלת (הוא גורם לקורא לחשוב שהוא מבין את המושג למרות שאין לו מושג מה הטעם במושג, מה שהופך את הערך לחסר טעם).

מקור טוב מאוד לכל אלו הוא Analytic Combinatorics שזמין באופן חינמי ברשת. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 18:44, 1 בספטמבר 2011 (IDT)

הערך מסביר ומדגים את הנושא, כמובן על קצה המזלג. יש הרבה מקום להרחיב (אתה מוזמן), אבל הדיבורים על "נזק" חסרי שחר. עוזי ו. - שיחה 21:09, 1 בספטמבר 2011 (IDT)

הסברתי מדוע אני רואה את הערך כגורם נזק. זכור לי שגם אתה הצגת בעבר את העמדה שהצגה שטחית עשויה להיות גרועה מאי הצגה בכלל. מכל מקום, מטרתי הייתה להעיר על האופן שבו אפשר להרחיב כדי לתקן זאת (כמובן שגם אחרי ההרחבה הערך עדיין יציג את הנושא רק על קצה המזלג). גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 08:54, 2 בספטמבר 2011 (IDT)

הערך עונה על השאלות הבסיסיות: מה זה, איך זה עובד, מה עושים עם זה. אפשר לומר על ערך כזה שהוא גורם יותר נזק מתועלת אם הוא כולל טענות שגויות או מציג תמונה מעוותת; זה לא המצב. עוזי ו. - שיחה 12:52, 2 בספטמבר 2011 (IDT)

הערך עונה על השאלה מה זה. אני לא סבור שהוא מסביר איך זה עובד או מה עושים עם זה, ואפילו המה זה לא ברור עד הסוף (להגיד שהטור הוא טור פורמלי או חבל כביסה זה לא פורמלי; הגדרה פורמלית הייתה מתארת את חוג טורי החזקות ואיך מגדירים בו כפל). אני חושב שבלי להבין "מה עושים עם זה" אצל הקורא נוצר הרושם השגוי שלא עושים עם זה הרבה ושזה בעיקר להטוט פורמלי לא שימושי במיוחד - ואת זה אני אומר על בסיס הנסיון שלי ושל סטודנטים רבים אחרים שדיברתי איתם על הנושא. אתה מוזמן להתעלם. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 14:49, 2 בספטמבר 2011 (IDT)

משוב מ-14 בספטמבר 2024

להלן מידע על ההיסוריה של פונקציות יוצרות - נלקח מ- chatGPT הפונקציה היוצרת (Generating Function) הומצאה לראשונה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אברהם דה מואבר (Abraham de Moivre) במאה ה-18. הוא השתמש בפונקציות יוצרות כדי לפתור בעיות בתורת ההסתברות, במיוחד בספרו "The Doctrine of Chances" שפורסם בשנת 1730. עם זאת, מי שהרחיב והפיץ את השימוש בפונקציות היוצרות היה המתמטיקאי השוויצרי לאונרד אוילר (Leonhard Euler). הוא פיתח את התחום והראה כיצד ניתן להשתמש בפונקציות היוצרות בפתרון בעיות בקומבינטוריקה ותורת המספרים. עבודתו של אוילר עשתה את הפונקציה היוצרת לכלי מרכזי במתמטיקה. אז למרות שדה מואבר היה הראשון שהמציא את הפונקציה היוצרת, אוילר היה זה שפיתח אותה והראה את הפוטנציאל הרחב שלה בתחומים שונים.  הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
‫147.235.205.56‬ 13:29, 14 בספטמבר 2024 (IDT)