שיחה:משפט הצפיפות של צ'בוטרב

מעט יותר הסברים

למרות שאני חובב מתימטיקה, אני מוצא את הניסוח מעט מסורבל ולא כל כך ברור ונהיר. אם אפשר (יכול להיות שאי אפשר) לפשט יותר את הניסוח של הערך.Lanqner - שיחה 20:39, 13 בספטמבר 2009 (IDT)

הערך לא יהיה "ברור ונהיר" עד שכמה מושגי יסוד בתורת המספרים האלגברית יוכחלו (ואולי גם אז לא). אבל מה, למשל, "מסורבל"? עוזי ו. - שיחה 21:48, 24 בספטמבר 2009 (IDT)

המשפט השני הוא פשוט לא קריא בעברית. "המשפט מתאר, עבור הרחבת גלואה נתונה של שדות מספרים, את ההתפלגות של העתקת פרובניוס המתאימה לראשוני הנבחר באקראי, כביכול, בין האיברים השונים של חבורת גלואה של ההרחבה". תסתכלל על הנוסח האנגלי של הערך והא הרבה יותר נהיר.Lanqner - שיחה 20:59, 25 בספטמבר 2009 (IDT)

שאלות

יש כמה דברים שאני לא מבין:

1. איך אפשר לעשות רדוקציה להרחבה ציקלוטומית?
2. מה זה משפט ההיפוך של ארטין?
3. איך מסיכים את המסקנה המוזכרת בראש הערך?
4. אני חשבתי שההוכחה למשפט הצפיפות של צ'בטרויוב הולכת כך:
   1. מפרקים את פונקציית זטא של דדקינד למכפלה של פונקצייות L של ארטין המתאימה לפרוק של ההצגה הרגולרית של חבורת גלואה להצגות אי-פריקות
   2. מסיקים מנוסחת מספר המחלקה של דדקינד את אי-האתאפסות של פונקצייות L של ארטין ב - 1.
   3. כותבים את צפיפות דיריכלה של קבוצת הראשוניים הנדרשת בתור קומבינציה של לוגוריתמים של פונקציות L (ופונקציית זטא).
   4. מסיקים את המשפט.

איך הוכחה זאת מתקשרת להוכחות המוזכרות בערך?

תודה רבה, רמי (Aizenr) • שיחה 06:34, 17 ביוני 2024 (IDT)

1. זה חלק מרכזי של ההוכחה. בהנתן K/F, איבר g ב-G, וראשוני גדול p, להרחבה הציקלוטומית $E=K(\zeta _{p})$ יש חבורת גלואה $G\times C_{p-1}$. אפשר לבחור את p כך שלרוב האיברים $h\in C_{p-1}$, ההרחבה $K(\zeta _{p})/K(\zeta _{p})^{(g,h)}$ היא ציקלוטומית. מהמקרה הציקלוטומי מסיקים שהצפיפות של הראשוניים של F שפועלים על E ע"י (g,h) היא לפחות ${\frac {1}{|G\times H|}}$. סוכמים על האיברים הטובים ב-H ומקבלים שהצפיפות של הראשוניים של F שפועלים על K ע"י g היא לפחות ${\frac {1}{|G|}}-\epsilon$. מכיוון שזה נכון לכל g, אי השוויון ההפוך גם נכון.

3. מפעילים את המשפט לשדה המחלקה של הילברט. ניר אבני • שיחה 04:54, 18 ביוני 2024 (IDT)

@ניר אבני תודה רבה. @עוזי ו. יצא לך להסתכל על שער השאלות? להתראות, רמי (Aizenr) • שיחה 12:58, 27 ביוני 2024 (IDT)

ניר ענה על 1 ו-3. משפט ההיפוך של ארטין זה Artin reciprocity, , כלומר האיזומורפיזם $C_{F}/N_{K/F}(C_{K})\rightarrow \operatorname {Gal} (K/F)^{\operatorname {ab} }$ כאשר K/F הרחבת גלואה של שדות גלובליים, ו-C_F היא ה-idele class group של F. עוזי ו. • שיחה 22:49, 27 ביוני 2024 (IDT)

תודה רבה. איך הוא מתקשר להוכחת משפט צ'בטרוב? אז נראה שהוכחה שנשיתי לתאר ב - 4 לא קשורה לאף אחת מההוחכות בערך. חשבתי שהיא ההוכחה הסטנדרטית. האם אתם מקירים אותה? להתראות, רמי (Aizenr) • שיחה 07:04, 28 ביוני 2024 (IDT)

בעצם, אני לא מבין את חלק 2 בהוכחה שלך (אי ההתאפסות של פונקציות L של ארטין). למה לא יכול להיות שלחלק מפונקציות ה-L יש קוטב ב-1 (שמבטל אפסים של פונקציות אחרות במכפלה)? ניר אבני • שיחה 06:07, 30 ביולי 2024 (IDT)

הבנתי, למעט המקרה הציקלוטומי (או האבלי בהנחת התאמת ארטין) נראה אין שום הוכחה א-פריאורי שפונקציית L של ארטין רגולרית ב -1. כך שמה שכתבתי זה לא הוכחה. זה באצם מסביר את החלק הקל של 2 ההוכחות שמוזכרות בערך. מתברר שמדובר במשפט הרבה יותר משמעותי ממה שזכרת. אכשיו אני צריך לוודה שחוסר ההבנה שלי לא גרמה לי לשתול טעוית בערכים אחרים בנושא. ניר אבני אשמח אם תוכל להרחיב את הערך בנושה 2 ההוכחות (הנכונות).

סליחה ותודה רבה, רמי (Aizenr) • שיחה 09:17, 31 ביולי 2024 (IDT)

סיכום שיחה עם ניר

• נראה שההוכחה שהזכרתי תקפה
• נראה שהיא שונה מהותית מ-2 ההוכחות המוזכרות בערך (וכנראה יותר קצרה)
• מסקנה: כדאי ליצור פסקה בערך "הוכחות" ולתאר בקצרה את הרעיות של שלושת ההוחכות.
• ניר אמר שהוא ישתדל לעשות את זה.

להתראות, רמי (Aizenr) • שיחה 11:55, 11 ביולי 2024 (IDT)