שיחה:טור המספרים הטבעיים

סיכום מוכלל: זהירות

אופרטור המתיחה שמוגדר בערך (ומגיע מהתובנה של אוילר שכדאי להתבונן ב-$\ 2^{-s}\zeta (s)$) נראה תמים למראה. נתבונן באופטור תמים אף יותר: הזזה ימינה, המוגדרת לפי $\ S(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )=(0,a_{1},a_{2},a_{3},\dots )$. האופרטור הזה שומר על מרחב הסדרות שהטור שלהן מתכנס, V, וגם על המרחב של הטורים הניתנים לסיכום לפי אבל, 'V; והוא מתחלף כמובן עם הסיכום הרגיל וגם עם הסיכום של אבל. עם זאת, כשמפעילים אותו על הסדרה $\ \alpha =(1,2,3,4,\dots )$, מגלים מיד ש-$\ \alpha -2S(\alpha )+S^{2}(\alpha )=(1,0,0,0,\dots )$. כלומר: אם קיים מרחב וקטורי הסגור לפעולת ההזזה ומכיל את $\ \alpha$, שעליו מוגדרת פעולת סיכום המתחלפת עם הזזה, אז פעולת הסיכום הזו חושבת ש- $\ 1+0+0+0+\cdots =0$. (הערך מניח שקיים מרחב וקטורי הסגור לפעולת המתיחה ומכיל את $\ \alpha$, שעליו מוגדרת פעולת סיכום המתחלפת עם מתיחה). עוזי ו. - שיחה 22:42, 16 באפריל 2014 (IDT)

הזהירות הנדרשת ברורה, אך האם כוונתך היא שפעולת הסיכום שמשתמשים בה בערך "חושבת" ש־$\ 1+0+0+0+\cdots =0$? אם כן, נראה שהחישוב המובא בערך שגוי. אם לא, מה בעצם ההבדל בין הדוגמה שנתת פה לפעולת הסיכום בערך? דולב • שיחה 13:06, 17 באפריל 2014 (IDT)

פעולת סיכום שמתחלפת עם הזזה, מוכרחה לקבל את השוויון $\ 1+0+0+0+\cdots =0$, ש*סותר* את הסכום הרגיל. במלים אחרות, *אי אפשר* להרחיב את הסיכום הרגיל למרחב סגור להזזות המכיל את טור המספרים הטבעיים, באופן שהזזה אינה משנה את הסכום. הערך מניח ש*אפשר* להרחיב את הסיכום של אבל למרחב סגור למתיחות המכיל את טור המספרים הטבעיים, באופן שמתיחה אינה משנה את הסכום. אני לא רואה דרך לקבל מכאן סתירה, ומניח שזה אכן אפשרי (אם כי זו טענה שיש להוכיח). עוזי ו. - שיחה 15:50, 17 באפריל 2014 (IDT)

שיוויון בסיכום אבל

בסיכום של אבל הובא השוויון $\ x-2x^{2}+3x^{3}-4x^{4}+5x^{5}-\cdots ={\frac {x}{(x+1)^{2}}}$. לא ברור כיצד מגיעים לשוויון זה. מומלץ להביא הוכחה קצרה או להפנות לערך המתאים המסביר זאת. דולב • שיחה 13:06, 17 באפריל 2014 (IDT)

הוספתי לערך הסבר. עוזי ו. - שיחה 15:51, 17 באפריל 2014 (IDT)

תודה. בעקבות ההסבר עשיתי משהו שלא עשיתי מאז המבחן האחרון שלי בחדו"א לפני יותר מעשור – פיתחתי טור טיילור. נראה שניתן לדלג על הפיתוח ל־$\ {\frac {1}{1+x}}$ וגזירתו רכיב רכיב, ולהגיע לשוויון הזה ישירות מהפיתוח ל־$\ {\frac {1}{(1+x)^{2}}}$. אני מציע את הנוסח הבא להערת השוליים:

פיתוח טור טיילור לביטוי $\ {\frac {1}{(1+x)^{2}}}$ בנקודה $\ x_{0}=0$ נותן את השוויון $\ 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+5x^{4}-\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}$. הטור מתכנס בהחלט עבור $x\in (-1,1)$, ולכן אפשר להכפיל אותו ב-$\ x$ רכיב רכיב ולקבל את השוויון $\ x-2x^{2}+3x^{3}-4x^{4}+5x^{5}-\cdots ={\frac {x}{(1+x)^{2}}}$.

האם מקובל עליך? דולב • שיחה 17:28, 17 באפריל 2014 (IDT)

ברור שמתקבלת אותה תוצאה, אבל אתה מחליף נימוק פשוט (סיכום של טור הנדסי + גזירה איבר-איבר) בנימוק מסובך (טור טיילור). (בנוסף לזה אין צורך בהתכנסות בהחלט כדי להכפיל בקבוע). עוזי ו. - שיחה 18:39, 17 באפריל 2014 (IDT)

כתבת בהסבר "כידוע הטור...", ולי הטור הזה לא היה ידוע, ומשהו במראה שלו הזכיר לי את טור טיילור, אז פשוט הנחתי שמקבלים את השוויון הזה מפיתוח טיילור. עכשיו אני מבין שסתם עבדתי קשה, וזה בכלל טור הנדסי שיש לו נוסחת סיכום פשוטה. אני ממש חלוד. הוספתי את זה בהסבר.
עוד דבר שקפץ לי עכשיו לעין: בהערה כתבת שהטור מתכנס במידה שווה בתחום $0<x<1$, אבל בגוף הערך כתבת שהשוויון נכון לכל $\ |x|<1$. האם אין אי-התאמה מסוימת בין שני התחומים האלה? דולב • שיחה 23:21, 17 באפריל 2014 (IDT)

השוויון נכון לכל x בקטע (1,1-), אבל הטור מתכנס במידה שווה רק בתת-קטעים סגורים של הקטע הפתוח. עוזי ו. - שיחה 00:43, 18 באפריל 2014 (IDT)

תודה לעוזי

תודה לעוזי שהרים את הכפפה וכתב את החלק העיקרי של ערך זה. דולב • שיחה 13:06, 17 באפריל 2014 (IDT)

דיווח על טעות

פרטי הדיווח

הבעיה היא פשוטה כל מה שכתוב כאן לא נכון מהבסיס כי לטור מתבדר לאינסוף אין סכום! לכן ברגע שמסמנים את הסכום הפוטנציאלי ב S זו כבר טעות. איך משהו יכול לחשוב שסכום מספרים חיוביים יכול לצאת שלילי?!

מקור:לצערי לא מצאתי מקור באינטרנט שתומך בי אך האמור לעיל זה מה שהמרצה שלנו למתמטיקה בדידה מכאלי קלין אמר. ואני מעדיף להאמין לו מאשר לשטויות שכתובות פה. דווח על ידי: אילון טולדנו 132.72.230.48 02:55, 20 בינואר 2015 (IST)

"טור זה אינו מתכנס, ולכן אין לו סכום במובן הרגיל של המילה."

המרצה כנראה דיבר על סכום במובן הרגיל. ‏Uziel302 • שיחה • אמצו ערך יתום! 03:03, 20 בינואר 2015 (IST)

אני חוזר על הצעתי מדף השיחה, שתדפיס לפרופ' קלין את הערך כולו, ותשאל מה דעתו. פרופ' עוזי ו. - שיחה 22:34, 20 בינואר 2015 (IST)

הטור 1+1+1+...

האם יש גם התייחסות לטור הזה? על פי סיכום רמנוג'אן ופונקציית זטא הוא 1/2-. נראה כסתירה לטור המספרים הטבעיים וכבר נידון בהכה את המומחה. השאלה כאן היא האם יש התייחסות ספציפית גם לסכום הזה.--גיאומטריה1 - שיחה 21:08, 13 בפברואר 2020 (IST)

אופס. הטור הזה כל כך מבלבל שכבר החלפתי אפס באינסוף...

זהו סכום רמנוג'אן לטור זה: ${\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }1=i\int _{0}^{\infty }{\frac {i--i}{e^{2\pi i}-1}}dt=i[x]_{0}^{\infty }=\infty i-{\frac {1}{2}}$ ואני הצבתי בטעות את הערכים של הפונקציה הקבועה במקום של הלינארית. בעצם לא נורא זה החלק הממשי של הסכום.--גיאומטריה1 - שיחה 23:08, 13 בפברואר 2020 (IST)