שיחה:הוכחה

יש בפסקה הראשונה כשל לוגי: "טענה שטרם זכתה להוכחה קרויה 'טענה'". אז מהי טענה שהוכחה? זה סותר את תחילת הפסקה, וגם מגדיר את "טענה" באמצעות עצמו. נראה לי שמספיק להשאיר את 'השערה', אבל צריך להסתכל על הניסוח הכולל של הפסקה.

באופן כללי, אחרי לא מעט קורסים באלגברה וחדו"א ומקצועות אחרים במתמטיקה במסגרת אקדמית, אני יכול לומר שטענה תמיד ניתנת להוכחה או הפרכה. המילה המתאימה לטענה שלא ניתן להוכיח או להפריך היא לדעתי 'השערה'. צחי 17:42, 17 דצמ' 2003 (UTC)

לא צריך להיות פה משהו על הקשר בין תיאוריה-הוכחה-טענה? אולי זה מופיע במקום אחר? טרול רפאים 11:42, 22 ינו' 2005 (UTC)

קטגוריה

אאל"ט, אין בעצם לערך הזה מה לעשות בקטגוריה 'לוגיקה'. *יש* מושג בלוגיקה פורמלית מתמטית שנקרא 'הוכחה', אך למעשה הערך לא מתייחס אליו - מדובר בסדרה של כללי היסק (צעדי היקש) המוליכים מן האקסיומות אל הטענה. מכיוון שיש חפיפה בין המושג הפורמלי לבין המושג המתואר בערך, ייתכן שצריך לכתוב על ה'הוכחה' של לוגיקה פורמלית בתוך ערך זה. מצד שני, אולי עדיף שלא, ולהפוך 'הוכחה' לדף פירושונים? אשמח לעזרה בהתלבטות מהמתמטיקאים של וויקי. רונן א. קידר 06:40, 23 אוקטובר 2005 (UTC)

הוכחה

להלן ההוכחה באינדוקציה למשפט: "תמיד n נקודות שנמצאות על מרחב n ממדי הם נמצאות על מרחב n-1 ממדי, לכל n"
בסיס (n=1): מרחב אפס ממדים הוא נקודה, שהיא הנקודה האחת.
אם נוסיף לקבוצה בעלת n נקודות שנמצאות על n-1 ממדים, אם מספר הממדים יגדל ל-n ממדים, אז בכל מקרה מספר הנקודות יגדל גם באחד. אחרת, עפ"י האקסיומה שטוענת שמרחב עם מספר ממדים כלוא בתוך מרחב עם יותר ממדים, אז יהיה ניתן להגדיל את מספר הממדים ל-n, לעומת n+1 הנקודות שיש עכשיו.=>מש"ל--80.178.39.151 15:44, 30 יולי 2006 (IDT)

ההוכחה לא ממש ברורה, אבל זה פחות חשוב - יותר חשובה השאלה מה בעצם הקשר לדף השיחה הזה. לא עדיף בדף השיחה של הערך שבו העלית את הנושא מלכתחילה? ובעצם, אולי גם שם זה מיותר. גדי אלכסנדרוביץ' 15:51, 30 יולי 2006 (IDT)

הוכחה היא לא תמיד סופית?

המשפט:

במתמטיקה ובלוגיקה הוכחה היא סדרה (בדרך כלל סופית) של אקסיומות וכללי היסק, המראה שטענה מסוימת נכונה.

לא נראה לי נכון מהסיבה הבאה:

צ"ל-A נכון

A נכון כי B נכון

B נכון כי C נכון

C נכון כי D נכון

D נכון כי E נכון

וכו... בצורה אין סופית

אם אין סוף להוכחה,איך הוכתי שA נכון?

--82.80.161.115 18:39, 16 באפריל 2009 (IDT)

אכן אין הוכחה מוחלטת וכל הוכחה בנויה על אקסיומה. --גוונא + שיחה + האם אתה מאזכר נכון? 18:41, 16 באפריל 2009 (IDT)

אמור לי בבקשה,האם יש אקסיומה הטוענת כי הוכחה חייבת להיות סופית?

--82.80.161.115 18:50, 16 באפריל 2009 (IDT)

ראשית עיין בערך אקסיומה.

שנית, אקסיומות אינן מושג ערטילאי ואינך צריך לשאול ידענים גדולים לגביהן. את רוב האקסיומות כל אחד מבין ואף יודע אותן ללא הסבר מוקדם.

לבסוף, תשובתי לשאלתך היא שלילית. לא עוד, אלא שתשובה חיובית תעומד בסתירה למה שכתבתי לך קודם.

--גוונא + שיחה + האם אתה מאזכר נכון? 20:09, 16 באפריל 2009 (IDT)

ההגדרה

יש כאן טענה שהניסוח לא מדוייק. התייחסות כלשהי? Elaz85 - שיחה 00:14, 16 ביולי 2010 (IDT)

ובהתאם, החלפתי את ההגדרה. במקום:

הוכחה היא סדרה (בדרך כלל סופית) של אקסיומות וכללי היסק, המראה שטענה מסוימת נכונה.

כעת כתוב

הוכחה היא סדרה סופית של טענות הנובעות זו מזו בעזרת כללי היסק, תוך שימוש בהגדרות, באקסיומות, ובידע קודם שהוכח קודם לכן, המראה שטענה מסוימת היא נכונה. Elaz85 - שיחה 13:46, 16 ביולי 2010 (IDT)

האם היו משפטים שגויים במתמטיקה?

<העברה מוק:הכה> עוזי ו. - שיחה 19:10, 27 בספטמבר 2011 (IDT)

1) האם היה במהלך ההיסטוריה משפט שנחשב לנכון שהוכח כשגוי? כלומר טענה שקרית או אולי מקרה פרטי שנחשב לכללי במשך הרבה זמן ומישהו סתר אותו?

2)אני יודע שמשקיעים מאמצים אדירים וכותבים ספרים שלמים של הוכחות. אבל תכלס- מה התועלת מהוכחה של 200 עמודים של המשפט האחרון של פרמה? אז מישהו הוכיח. איך זה עוזר? קרי, איך זה מקדם את המדע, טכנולוגיה, כלכלה, חשיבה מופשטת וכדו'.

3) האם בכלל שווה להשקיע כל כך הרבה זמן בטענה שאף אחד לא יכול למצוא לה דוגמה נגדית? נגיד מישהו כותב טענה ללא הוכחה, ואלפי אנשים מחפשים דוגמה נגדית ולא מוצאים. מבחינה לוגית זה לא אומר שהטענה נכונה. אבל כל עוד לא נמצאה דוגמה נגדית, התועלת מטענה הלא מוכחת שווה לזו המוכחת, לא? 109.66.221.61 19:31, 21 בספטמבר 2011 (IDT)

1. היו הרבה מאוד מקרים של השערות שנתבררו לבסוף כשגויות, אך אני לא מכיר מקרה קיצוני של משפט שהוצגה לו הוכחה והיא הגלתה כעבור זמן רב כשגויה. קרה לא מעט שמישהו חשב שיש לו הוכחה נכונה, אבל לאחר שפרסם אותה נמצאה בה טעות. בהוכחות ארוכות ומורכבות זה יכול לקחת גם כמה חודשים, אבל לא שמעתי על מקרה של הוכחה שגויה שנחשבה נכונה למעלה משנה. היו מקרים הפוכים: אנשים הוכיחו תוצאה, אך לקח כמה שנים עד שהקהילה המתמטית קיבלה את נכונותה.
2. קודם כל תועלת אינטלקטואלית. לאנשים רבים קוסם הרעיון של לדעת משהו בוודאות מוחלטת ורואים בהוכחה עצמה דבר יפה, ולא רק המשפט שהוא התוצאה הסופית. חוץ מזה, לרוב הוכחה ארוכה כוללת בתוכה פיתוחים רבים שיכולים לשמש במאות הוכחות אחרות. למשל כשווילס הוכיח את המשפט האחרון של פרמה הוא הוכיח בדרך (חלקית) את משפט טניאמה-שימורה, שבעצמה משליכה על המון תוצאות אחרות. ברור שמי שיוכיח את P שונה מ-NP יצטרך לפתח בדרך תורה מתמטית שלמה ששונה מכל מה שידענו קודם, ויקדם את המתמטיקה ואת מדעי המחשב במגוון רחב של דרכים.
3. כן, כי הרבה פעמים אחרי מאות שנים כן מוצאים פתאום טענה נגדית, ולכן כל מי שהשתמש בהשערה כמשפט במאות שנים האחרונות שגה. זה מתקשר גם למה שאמרתי על הרצון לדעת דברים בוודאות. דניאל • תרמו ערך 19:57, 21 בספטמבר 2011 (IDT)

1. היו במהלך ההיסטוריה משפטים שהוכחה שלהם נמצאה שגויה. דוגמא אחת היא משפט גרונוולד-ואנג : גרונוולד, שהיה סטודנט של הלמוט הסה, פרסם ב-1933 הוכחה לטענה שמספר רציונלי הוא חזקה-n-ית (של מספר רציונלי אחר) אם ורק אם הוא חזקה כזו כמעט בכל שדה p-אדי. ב-1948 פרסם ואנג דוגמא נגדית פשוטה יחסית (המספר 16 הוא חזקה שמינית בכל שדה p-אדי פרט למקרה p=2, ובכל זאת אינו חזקה שמינית), וזמן קצר אחר-כך מצא והוכיח גרסה נכונה של המשפט, שהיא עד היום אחת התוצאות הבסיסיות בתורת המספרים האלגברית. דוגמא אחרת היא השערת היעקוביאן, העוסקת במשוואות בשלושה או יותר משתנים; ההשערה נחשבה פתורה מאז 1957 ועד שנמצאה טעות בהוכחה ב-1970. פורסמו לה מאז כמה הוכחות שגויות, והיא פתוחה עד עצם היום הזה. אירועים פחות מפורסמים (היינו משפט שפורסמה הוכחה שלו ואחר-כך מתפרסמים תיקון, הסבר מדוע הנימוק אינו תקף, או אף דוגמא נגדית) מתרחשים כל הזמן. השורה התחתונה היא שגם אם הוכחה מתמטית היא אמת ודאית, ההכרה ברצף נימוקים מסויים כהוכחה היא פעולה אנושית, וככזו (אפילו כשעושים אותה מתמטיקאים) היא חשופה לטעויות.

2. אם ההוכחה למשפט האחרון של פרמה היתה 200 עמודים של חישוב טרחני, באמת לא היה צורך לפרסם אותה. ההוכחה חשובה לא (רק) בגלל שהיא מאשרת עובדה שלא היתה ידועה קודם לכן (ומדובר על תכונות אריתמטיות של עקומים אליפטיים - משהו הרבה יותר כללי מקיום או העדר פתרון למשוואה דיופנטית מסויימת), אלא גם בגלל הרעיונות שהיא מכילה, שהשפיעו ועוד ישפיעו על המשך המחקר בתחום.

3. תחת הגדרה מצומצמת מספיק למלה הזו, יש ענפים במתמטיקה שאין בהם שום "תועלת". עוזי ו. - שיחה 20:07, 21 בספטמבר 2011 (IDT)

(בויקיפדיה האנגלית יש רשימה נאה של דוגמאות, הכוללת גם את שתי אלה שהבאתי בסעיף 1). עוזי ו. - שיחה 20:21, 21 בספטמבר 2011 (IDT)

מעניין שברשימה מופיעות בעיקר טענות בנישות של אלגברה. בהקשר הזה יש לציין את השערת קפלר שאין ודאות מוחלטת לגבי ההוכחה שלה בימנו מכיוון שהיא כל כך ארוכה והיא כוללת שימוש מסיבי במחשב, כך שמבחינה מעשית לא יכולה להיבדק על ידי אדם. נעשים מאמצים רבים לפרמל את ההוכחה לצורה שתוכל להיבדק באופן אוטומטי על ידי מחשב. דניאל • תרמו ערך 20:37, 21 בספטמבר 2011 (IDT)

"ברור שהאקסיומות אינן ניתנות להוכחה ואף לא להפרכה."

המשפט נמחק בנימוק "ממש לא נכון". אשמח להסבר מפורט יותר. דוד שי - שיחה 06:33, 21 בנובמבר 2012 (IST)

יכול להיות שהכוונה היא שאין דרישה לגבי מערכת אקסיומות שהן יהיו בלתי תלויות זו בזו, כלומר שלא ניתן יהיה להוכיח אקסיומה מסויימת מתוך אוסף כל האקסיומות האחרות. למשל, כשמדברים על סכימות אינסופיות של אקסיומות כמו סכימת האקסיומות של האינדוקציה או אקסיומת ההחלפה בתורת הקבוצות אז בכל הגדרה טבעית הסכימה מכילה הרבה אקסיומות שנכונות באופן ריק, או שניתן להוכיח מתוך אקסיומות האחרות, וזה לא מפריע. כמובן שאם אקסיומה ניתנת להפרכה מתוך אוסף האקסיומות האחרות אז התורה המתקבלת היא לא עקבית ולכן לא מעניינת. יאיר ח. - שיחה 07:59, 21 בנובמבר 2012 (IST)

מי שמחק צדק: מתוך ניתוח סמנטי של עצם המושג "הוכחה" עולה, כי ניתן "להוכיח" כל אכסיומה מתוך עצמה; ביתר פירוט: העובדה שניתן "להוכיח" כל אכסיומה, נובעת מתוך צירוף של שתי עובדות: א. "להוכיח" טענה, פירושו להסיק את הטענה מתוך קבוצת האכסיומות הנתונה; ב. ניתן להסיק כל טענה מתוך עצמה. סמי20 - שיחה 12:38, 21 בנובמבר 2012 (IST)

נדמה לי שאין ויכוח שהאקסיומות אינן ניתנות להפרכה. הוכחת אקסיומה מתוך עצמה היא מקרה טריוויאלי חסר חשיבות. כאשר ניתן להוכיח אקסיומה מתוך אקסיומה אחרת, נעדיף לכנותה משפט, ולצמצם את מספר האקסיומות, לפחות כאשר מספר האקסיומות סופי. דוד שי - שיחה 20:24, 21 בנובמבר 2012 (IST)

לפחות בערך אקסיומה מצויינת הדרישה של המינימליות, כלומר שלא ניתן להוכיח אקסיומה מתוך האקסיומות האחרות. אני לא בטוח, אבל נראה לי שבמקרים רבים נוטים לוותר על העיקרון הזה ולו רק בגלל שהרבה פעמים זה לא קל קשה עד בלתי אפשרי למצוא הגדרות טבעיות בהן זה קורה. לכן, בעצם נסתפק בעובדה שניתן למנות (בצורה רקורסיבית) אוסף של טענות שהצירופים שלהם גוררים את כל התורה הרלוונטית, ולהן נקרא אקסיומות. ברור שהגישה הזו היא פורמליסטית להחריד ובאופן מעשי מסיבות אסתטיות נעדיף מערכת אקסיומות כמה שיותר מצומצמת (גם אם לא בהכרח מינימלית). אפשר לראות את זה למשל בהתפתחות האקסיומות של תורת הקבוצות לאורך השנים - כאשר הבינו שאקסיומת ההחלפה גוררת את אקסיומת ההפרדה (ואת אקסיומת הזוג הלא סדור) היא הושמטה ממערכת האקסיומות, למרות שגם המערכת שהתקבלה עדיין איננה מינימלית. בכל מקרה נראה לי שכל הדיון הזה לא כל כך קשור לנושא של הפסקה... יאיר ח. - שיחה 21:53, 21 בנובמבר 2012 (IST)

אכן (כדבריך) זה לא קשור. סמי20 - שיחה 13:42, 22 בנובמבר 2012 (IST)

אני מסכים איתך דוד, ש"הוכחת אקסיומה מתוך עצמה היא מקרה טריוויאלי חסר חשיבות". אבל עדין אין זה פוגע כהוא זה בנכונותה של העובדה (הטריויאלית וחסרת-החשיבות) שכל אכסיומה מוכחת מתוך עצמה, ולכן צדק מי שמחק את המילים השגויות: "ברור שהאכסיומות אינן ניתנות להוכחה", מה שמשיב לך על בסיס-תמיהתך המקורית; האם אתה מציע להכניס לתוך ויקיפדיה משפט שגוי, רק בגלל שהיפוכו של המשפט הזה הוא עובדה טריויאלית חסרת חשיבות?

זה שמחקו גם את הסיפא ("ואף לא להפרכה") זה מן הסתם רק מכח האינרציה (אחרי מחיקת הרישא). אבל אם אתה חושב שאתה יכול להחזיר באופן אינטליגנטי את הסיפא הנ"ל לבדה, אז אדרבא - החזר נא; אם כי חוששני שהסיפא הנ"ל היא כל כך מובנת מאליה, עד שמי שיקרא זאת יאמר לעצמו: "הרי זה ממש טריויאלי להחריד, ולגמרי אינו מאיר את עיניו של קורא הפיסקה המדוברת". סמי20 - שיחה 13:42, 22 בנובמבר 2012 (IST)

המשפט הזה חשוב לצורך הבנת המשפט שבא בהמשכו. כדי להשביע את קפדנותך, אפשר ניסוח מסורבל יותר "אקסיומה אינה ניתנת להוכחה (אלא מתוך עצמה) ואף לא להפרכה". כיוון שניסוח זה אינו מובן למי שלא קרא דיון זה, אסתפק במה שיש. דוד שי - שיחה 19:16, 22 בנובמבר 2012 (IST)

נראה לי שזה המקום להזכיר את קיום הערך הוכחה (לוגיקה מתמטית). אפשר לאחד את שני הערכים או להעביר את הפורמליזם לערך השני ולהפנות אליו (בגוף הערך הזה) את הקורא הדקדקן. יאיר ח. - שיחה 21:33, 22 בנובמבר 2012 (IST)

הסרתי את המשפט מכמה סיבות. האחת, היא כאמור כי פורמלית זה לא מדויק, וכמו שיאיר ציין גם מקובלות מערכות שבהן כן ניתן להוכיח אקסיומה מתוך אחרות. מלבד זאת לפי המשפט השני של גדל אין ערובה שאקסיומה אינה ניתנת להפרכה. דניאל • תרמו ערך 22:11, 22 בנובמבר 2012 (IST)