שיחה:גאומטריה אוקלידית

רציתי לשאול האם יהיה רצוי להוסיף חלק על משפטים בגיאומטריה של המישור? (אלו הנלמדים בתיכונים)

אני מעוניין להוסיף לכל אחד מהם הוכחה, ועל כן ייווצרו ערכים רבים נוספים. בפעם האחרונה ששאלתי על משפטים ספציפיים הבנתי שזה רצוי, האם המצב שונה כאשר מדובר במשפטים רבים?

תודה! יובל מדר

לי זה נשמע כמו רעיון לא רע, אבל לא כדאי לעשות ערך בודד לכל משפט. הכי טוב לעשות ערכים מרוכזים ("משפטים הנוגעים למעגלים", "משפטי חפיפת משולשים" וכדומה). צירוף ההוכחה לכל משפט בהחלט רצוי. גדי אלכסנדרוביץ' 09:17, 21 יולי 2004 (UTC)

אוקיי, התחלתי.

יצרתי סקיצב לרשימת המשפטים השונים הנלמדים בתיכון.

אשמח אם תסתכל ותעיר הערות (דברים חסרים, שמות שונים, סידור שונה וכו'). נכון לעכשיו ההוכחות והשרטוטים חסרים ברובם. יובל מדר 12:24, 25 יולי 2004 (UTC)

לא הייתי מציע לך לסמוך עלי. הפעם האחרונה שבה נגעתי בגיאומטריה הייתה בתיכון, ואני לא זוכר מה בדיוק היה שם ומה לא. הכי טוב זה לעבוד עם ספר גיאומטריה תיכונית. סה"כ על המשפטים עצמם אין זכויות יוצרים, לכל היותר על הניסוח וסגנון כתיבת ההוכחה שלהם (וגם זה לא נראה לי שממש) גדי אלכסנדרוביץ' 15:42, 25 יולי 2004 (UTC)

תירגמתי חלק מהויקי באנגלית והוספתי עוד כמה שטויות Erwin138

האקסיומה הראשונה

לפי הויקיפדיה האנגלית והגרמנית האקסיומה הראשונה היא: "כל שתי נקודות ניתן לחבר על ידי קו ישר" ולא מה שכתוב כרגע בערך. לכן נראה לי תמוה לתקן את התיקון שלי. מה גם שלא ראיתי שום דבר רלוונטי בדף השיחה. Erwin138 18:27, 7 מרץ 2006 (UTC)

ארחיב בנושא בערך יסודות (ספר). עוזי ו. 23:22, 7 מרץ 2006 (UTC)

בינתיים הורדתי את רשימת האקסיומות, משום שהגאומטריה האוקלידית של היום אינה מסתמכת עליהם, ובלי הרחבה נוספת ההכללה שלהם בערך עשויה להטעות. אם מישהו מעוניין לכתוב על הנושא הזה קצת יותר בזהירות, אפשר להחזיר. עוזי ו. 23:43, 7 מרץ 2006 (UTC)

לדעתי יש מקום לשיפור. לא מצוינות האקסיומות המודרניות

וניתן להסביר באופן כללי הרבה יותר...

האקסיומה החמישית

חסרה, ואפילו שיש קישור לערך עליה, זה נראה תמוה. לדעתי יש להוסיף פירוט שלה בערך הזה עצמו. נועיה 22:27, 4 במרץ 2007 (IST)

האקסיומה החמישית - ה'ניסוח השקול'

הניסוח המופיע בערך כיום הוא: "אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזויות הפנימיות שיווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם יפגשו (בניסוח שקול: דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון)." לדעתי, יש טעות ב'ניסוח השקול', והוא צריך להיות כדלקמן: "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר לכל היותר ישר אחד המקביל לישר הנתון" (ע"פ ויקיפדיה האנגלית הניסוח מיוחס למתמטיקאי בשם ג'ון פלייפר).

הסבר: מתוך ארבע האקסיומות הראשונות, כפי שהן מנוסחות במאמר, ובתוספת האקסיומה החמישית, ממש לא ניתן להוכיח שקיים ישר מקביל, ויותר מכך, אפשר לתת דוגמה נגדית - על פני כדור - שם מתקיימות כל חמש האקסיומות, אבל אין בכלל קווים ישרים מקבילים שאינם נפגשים.

על מנת להוכיח שיש לפחות ישר מקביל אחד, צריך דרישות נוספות, שאינן חלק מחמש ההאקסיומות המקוריות של אוקלידס, כפי שהן מנוסחות.

אפשרות אחת היא, "לחזק" את האקסיומה הראשונה, כך שהניסוח שלה יהיה: "בין שתי נקודות שונות אפשר להעביר בדיוק קטע ישר אחד". דרך אחרת היא להותיר את האקסיומה כפי שהיא, ולהוסיף אקסיומת סדר. הסדר הוא יחס טרנארי בין נקודות והוא מתקיים רק עבור נקודות הנמצאות על אותו ישר. האקסיומה קובעת שאם נקודה Y נמצאת בין נקודה X לנקודה Z, אזי לא יכול להיות שנקודה Z נמצאת בין נקודה X ונקודה Y. הניסוח היותר חד של אקסיומה זו לפי טרסקי הוא: "אם נקודה Y נמצאת בין נקודה X לנקודה X, אזי Y שווה ל-X". בכל מקרה, ניתן להראות שקילות בין אקסיומת הסדר ובין חיזוק האקסיומה הראשונה כפי שכתבתי.

בנוסף לאמור לעיל, כדי להוכיח את קיום הקו המקביל, יש להוסיף אקסיומה נוספת (המיוחסת למוריץ פש) והקובעת את "מישוריות" המשטח (אקסיומה זו נכונה גם במישור האוקלידי וגם לגבי פני כדור).

לסיכום, האקסיומה החמישית היא רק מחצית הדרך על מנת להוכיח כי בהינתן קו ונקודה חיצונית לו, קיים קו מקביל אחד ויחיד, ולכן רצוי לדייק ב'ניסוח השקול' שלה. --Aythan - שיחה 11:29, 3 במאי 2009 (IDT)

נכון שהניסוחים אינם שקולים. האם הראשון הוא הניסוח המקורי של אוקלידס? ממתי נטען שהוא שקול לניסוח המקובל על קיום מקביל אחד ויחיד? עוזי ו. - שיחה 11:59, 3 במאי 2009 (IDT)

לצערי אינני די בקיא ביוונית על מנת לקבוע מה הניסוח המקורי של אוקלידס. על כל פנים, בקישורית הבאה יש ניסוח באנגלית, לדעתי המקור די אמין, ואפשר להסתמך עליו: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html#posts

בקשר לשאלה "ממתי נטען וכו'", אינני יודע לענות. בכל אופן, ככה נטען בגוף הערך בזמן כתיבת מילים אלה (אני רק עשיתי 'העתק-הדבק').--Aythan - שיחה 16:24, 3 במאי 2009 (IDT)

ניסוח לוגי של האקסיומות

אפשר לנסח את האקסיומות של אוקלידס בלוגיקה אם "גאומטריה" היא הקבוצה $(P,L,C,d,\angle ^{+},\angle ^{-})$, כאשר P היא קבוצת הנקודות, L היא קבוצת הישרים, C היא קבוצת המעגלים, d היא פונקציית המרחק, $\angle ^{+}$ היא פונקציה המקבלת שני ישרים ומחזירה את הזווית הגדולה ביניהם ו-$\angle ^{-}$ היא פונקציה המקבלת ישרים ומחזירה את הזווית הקטנה ביניהן. ניסוח לוגי של האקסיומות בגאומטריה הן:

1. $\forall p_{1},p_{2}\in P\exists !l\in L:p_{1},p_{2}\in l$
2. $\forall p_{1}\in P,p_{1}\in l\in L,r\in \mathbb {R} \exists p_{2}\in l:d(p_{1},p_{2})=r$
3. $C=\{\{p|p\in P,d(p,p_{0})=r\}|p_{0}\in P,r\in \mathbb {R} \}$
4. $\forall l_{1},l_{2},l_{3},l_{4}\in L:(\angle ^{+}(l_{1},l_{2})=\angle ^{-}(l_{1},l_{2}),\angle ^{+}(l_{3},l_{4})=\angle ^{-}(l_{3},l_{4}))\Longrightarrow (\angle ^{+}(l_{1},l_{2})=\angle ^{+}(l_{3},l_{4}))$
5. $\forall l_{1},l_{2},l_{3}\in L\exists l_{4},l_{5}\in L:\angle ^{+}(l_{4},l_{5})=\angle ^{-}(l_{4},l_{5}),(\angle ^{+}(l_{1},l_{3})+\angle ^{-}(l_{2},l_{3})<2\angle ^{+}(l_{4},l_{5}))\Longrightarrow (|l_{1}\cap l_{2}|>0)$

Nanoo - שיחה 07:50, 2 בספטמבר 2012 (IDT)

ניסוח נכון יותר הוא שיש פונקציה אחת $\angle$ מהזוגות הסדורים של ישרים נחתכים לחבורת המעגל (ולא $\angle ^{+},\angle ^{-}$) המחזירה את הזווית שיש לסובב בכיוון מסוים חלקי פאי ויש גם יחס $<\in P\times (L\cup C)$, אין קשר בין L, P ו-C חוץ מזה שקובעות האקסיומות ומתקיימות 11 האקסיומות (יש קצת בעיות בהצגה):

1. $\forall p_{1},p_{2}\in P\exists !l\in L:p_{1},p_{2}<l$

2. $\forall l\in L,p_{1}\in P,r\in R:p_{1}<l\to (\exists p_{2}\in P:p_{2}<l\land d(p_{1},p_{2})=r$ 3a. $\forall c\in C\exists p\in P,r\in \mathbb {R} :\forall p\in P:p<c\to d(p_{0},p)=r$ 3b. $\forall p_{0}\in P,r\in \mathbb {R} \exists !c\in C:\forall p\in P:p<c\to d(p_{0},p)=r$ 4. $\forall l_{1},l_{2},l_{3},l_{4}\in L:(\angle (l_{1},l_{2})=\angle (l_{2},l_{1})\land \angle (l_{3},l_{4})=\angle (l_{4},l_{3}))\to \angle (l_{1},l_{2})=\angle (l_{3},l_{4})$ 5. $\forall l_{1},l_{2},l_{3}\in L\exists l_{4},l_{5}\in L:\angle (l_{4},l_{5})=\angle (l_{5},l_{4})\land (\angle (l_{1},l_{3})+\angle (l_{3},l_{2})=\angle (l_{4},l_{5})+\angle (l_{4},l_{5})\to \neg \exists p\in P:(p<l_{1}\land p<l_{2}))$ d1. $\forall p_{1},p_{2}\in P:d(p_{1},p_{2})\geq 0$ d2. $\forall p_{1},p_{2}\in P:d(p_{1},p_{2})=0\iff p_{1}=p_{2}$ d3. $\forall p_{1},p_{2}\in L:d(p_{1},p_{2})=d(p_{2},p_{1})$ d4. $\forall p_{1},p_{2},p_{3}\in P:d(p_{1},p_{2})+d(p_{2},p_{3})\geq d(p_{1},p_{3})$

$\angle$. $\forall l_{1},l_{2},l_{3}\in L:\angle (l_{1},l_{2})+\angle (l_{2},l_{3})=\angle (l_{1},l_{3})$

-- רועי.ס - שיחה 15:53, 8 בנובמבר 2012 (IST) (אני nanoo)

הנחות יסוד

הכרך הראשון של ספר "היסודות" של אוקלידס מתחיל ב23 הגדרות ו2 קטגוריות של הנחות בסיס, בתרגום לאנגלית הראשונה נקראית postulates והשנייה common notions. בערך "גיאומטריה אוקלידית" הקטגוריה השנייה נקראית "הנחות יסוד כלליות" והראשונה נקראית "אקסיומות" בערך "היסודות של אוקלידס" לפני שערכתי אותו, הקטגוריה הראשונה נקראה "הנחות ("פוסטולטים")" והשנייה "אקסיומות (הנקראות "מושגים מוסכמים")" בערך "אקסיומת המקבילים" נקראית הקטגוריה הראשונה "אקסיומות" וקיומה של השנייה לא מוזכר.

השם אקסיומות לא נמצא במקור, ויש חוסר עקביות באם לשייך אותו לקטגוריה הראשונה או השנייה (או אפילו בתור שם כללי לשתיהן). אני חושב שעדיף להשתמש בשמות חד משמעיים איפה שניתן ואני מציע לשם כך לקרוא להן "הנחות" ו"מוסכמות", אם כי גם "מושגים מוסכמים" מתקבל על הדעת. ובכל אופן צריכה להיות עקביות בין הערכים השונים. השם "אקסיומת המקבילים" כבר מקובל ואני לא מציע לשנות אותו. --Nngnna - שיחה 12:44, 24 באוקטובר 2016 (IDT)

הנחות יסוד

הכרך הראשון של ספר "היסודות" של אוקלידס מתחיל ב23 הגדרות ו2 קטגוריות של הנחות בסיס, בתרגום לאנגלית הראשונה נקראית postulates והשנייה common notions.

בערך "גיאומטריה אוקלידית" הקטגוריה הראשונה נקראית "אקסיומות", והשנייה נקראית "הנחות יסוד כלליות".

בערך "היסודות של אוקלידס" לפני שערכתי אותו, הקטגוריה הראשונה נקראה "הנחות ("פוסטולטים")" והשנייה "אקסיומות (הנקראות "מושגים מוסכמים")".

בערך "אקסיומת המקבילים" נקראית הקטגוריה הראשונה "אקסיומות" וקיומה של השנייה לא מוזכר.

השם אקסיומות לא נמצא במקור, ויש חוסר עקביות באם לשייך אותו לקטגוריה הראשונה או השנייה (או אפילו בתור שם כללי לשתיהן). אני חושב שעדיף להשתמש בשמות חד משמעיים איפה שניתן ואני מציע לשם כך לקרוא להן "הנחות" ו"מוסכמות", אם כי גם "מושגים מוסכמים" מתקבל על הדעת. ובכל אופן צריכה להיות עקביות בין הערכים השונים. השם "אקסיומת המקבילים" כבר מקובל ואני לא מציע לשנות אותו. --Nngnna - שיחה 12:44, 24 באוקטובר 2016 (IDT)

קיבלתי. אנא תקן את הערכים כמיטב יכולתך. עוזי ו. - שיחה 20:21, 24 באוקטובר 2016 (IDT)