קואורדינטות הומוגניות

במתמטיקה, ובפרט בגאומטריה פרויקטיבית, קואורדינטות הומוגניות הן מערכת קואורדינטות המייצגת נקודות במרחב פרויקטיבי.

בניגוד לקואורדינטות קרטזיות, שבהן כל נקודה במרחב מיוצגת על ידי n-יה אחת של מספרים, בקואורדינטות הומוגניות אותה נקודה במרחב יכולה להיות מתוארת על-ידי מספר n-יות, כל עוד היחס בין איברי הקואורדינטות נשמר.

קואורדינטות הומוגניות שימושיות גם במקרה של העתקות אפיניות משום שיש ביכולתן לתאר, בנוסף לפעולות של העתקה ליניארית, גם פעולות הזזה.

רקע ומוטיבציה

מרחב פרויקטיבי הוא מרחב גאומטרי המקיים את האקסיומות הבאות:

• דרך כל שתי נקודות עובד ישר אחד בלבד.
• כל שני ישרים החולקים את אותו מישור, נחתכים בנקודה אחת בלבד

משמעות האקסיומה השנייה היא שבמרחב פרויקטיבי לא קיימים ישרים מקבילים. כלומר, כל שני ישרים הנמצאים על אותו מישור ומקבילים במובן האוקלידי, נפגשים באינסוף.

בעוד שלמרחבים אפיניים ניתן להשתמש במערכת קואורדינטות אפיניות דמוית קואורדינטות קרטזיות, במרחבים פרויקטיביים לא ניתן להשתמש בה, זאת מכיוון שהיא מניחה את קיומם של ישרים מקבילים ולא מאפשרת להגדיר נקודות באינסוף.

באופן כללי, מערכת קואורדינטות הומוגניות פותרת את בעיה זו על-ידי הוספת איבר נוסף לקואורדינטות וצימוד קואורדינטות לפי יחס קבוע. כך למעשה, אין הערכים של הקואורדינטות עצמן מגדירים את הנקודה במרחב, אלא היחסים ביניהם.

למשל, במקרה של המישור הפרויקטיבי הממשי $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{2}$, קואורדינטות הומוגניות יהיו שלישיית מספרים ממשים $x,y,z$ והקואורדינטות ההומגניות תהיינה מסומנות ב-$[x:y:z]$. מאחר שמדובר בקואורדינטות הומוגניות, הנקודה המיוצגת על-ידי $[x:y:z]$ היא אותה הנקודה המיוצגת על-ידי $[\lambda x:\lambda y:\lambda z]$ כאשר $\lambda$ הוא מספר ממשי שונה מאפס.

מרחבים מממד סופי

בהינתן שדה $F$ ומספר טבעי $n\in \mathbb {N}$, המרחב הפרויקטיבי ה-$n$ ממדי מעל $F$ מסומן ב-$F\mathbb {P} ^{n}$.

כאמור, הקואורדינטות ההומוגניות של המרחב $F\mathbb {P} ^{n}$ יסומנו ב-$[x_{1}:\dots :x_{n+1}]$ כאשר כל איברי ה-$x_{i}$ הם איברים מתוך $F$. מאחר שקואורדינטות הומוגניות מייצגות את אותה נקודה כאשר מכפילים אותן בסקלר, הקואורדינטות $[x_{1}:\dots :x_{n+1}]$ ו-$[\lambda x_{1}:\dots :\lambda x_{n}:\lambda x_{n+1}]$ מייצגות את אותה הנקודה בקואורדינטות הומוגניות לכל $\lambda \neq 0$.

את ראשית הצירים מסמנים ב-$[0:\dots :0:\lambda ]$ כאשר $\lambda \neq 0$.

כל נקודה שאיננה באינסוף אשר מסומנת ב-$(x_{1},\dots ,x_{n})$ בקואורדינטות קרטזיות, מסומנת ב-$[\lambda x_{1}:\dots :\lambda x_{n}:\lambda ]$ בקואורדינטות הומוגניות לכל $\lambda \neq 0$.

את הנקודות באינסוף מסמנים בקואורדינטות שנגמרות במספר 0. כלומר, בהינתן הווקטור ${\vec {v}}:=(x_{1},\dots ,x_{n})$, מסמנים ב-$[x_{1}:\dots :x_{n}:0]$ את הנקודה בה נפגשים כל הישרים המקבילים ל-${\vec {v}}$, ובפרט הישר היוצא מראשית הצירים בכיוון ${\vec {v}}$.

עבור נקודות בקרבת הראשית (כולל הראשית עצמה), נהוג לנרמל את האיבר האחרון בקואורדינטות הומוגניות להיות 1. כלומר, בכל הדוגמאות לעיל נהוג לקבוע ש-$\lambda =1$, אז ראשית הצירים מסומנת ב-$[0:\dots :0:1]$ וכל נקודה בקרבתה מסומנת ב-$[x_{1}:\dots :x_{n}:1]$.

הקואורדינטות $[0:\dots :0:0]$ אינן קואורדינטות תקינות בקואורדינטות הומוגניות ואינן מייצגות אף נקודה במרחב. כלומר, קואורדינטות הומוגניות מכריחות שלפחות איבר אחד מהן יהיה שונה מאפס.

שיכון מרחבים אפיניים

השימוש בקואורדינטות הומוגניות מדגים כיצד ניתן לשכן מרחבים אפיניים לתוך מרחבים פרויקטיביים בצורה אינטואיטיבית.

כך, ניתן להראות כיצד המרחב האפיני $\mathbb {A} ^{n}$ משוכן לתוך המרחב הפרויקטיבי $F\mathbb {P} ^{n}$ כאשר $(x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto [x_{1}:\dots :x_{n}:1]$.

זהו שיכון בין מרחבים משום שישרים מועתקים לישרים, מישורים למישורים וכו'.

שיכון זה הוא חד-חד-ערכי שאיננו על בין המרחב האפיני למרחב הפרויקטיבי. כלומר, המרחב האפיני משוכן לתוך המרחב הפרויקטיבי אך לא איזומורפי לו.

הגדרה כללית

בהינתן שדה $F$ ומרחב וקטורי $V$, מגדירים את המרחב הפרויקטיבי $\mathbb {P} (V)$ באופן הבא:

מגדירים יחס שקילות $\sim$ על הקבוצה $V\backslash \{0\}$ כך ש-${\vec {v}}_{1}\sim {\vec {v}}_{2}$ אם ורק אם קיים $0\neq \lambda \in F$ כך ש-${\vec {v}}_{1}=\lambda {\vec {v}}_{2}$.

$\mathbb {P} (V)$ מוגדר להיות קבוצת מחלקות השקילות של $\sim$ על $V\backslash \{0\}$.

עבור נקודה $p\in \mathbb {P} (V)$ ווקטור ${\vec {v}}\in V$, ${\vec {v}}$ יוגדר להיות הקואורדינטות ההמוגניות של $p$ אם ורק אם $p=[{\vec {v}}]$. כלומר, ${\vec {v}}$ ייחשב כקואורדינטות הומוגניות אם ורק אם הוא נציג של מחלקת השקילות המייצגת את $p$.

במקרה שבו $V$ הוא מרחב וקטורי טופולוגי, ל-$\mathbb {P} (V)$ מוגדרת טופולוגיה מושרית מהטופולוגיה של $V$ והיא טופולוגיית המנה.

ייצוג העתקות אפיניות באמצעות קואורדינטות הומוגניות

ערך מורחב – העתקה אפינית

העתקה אפינית היא העתקה בין שני מרחבים אפיניים אשר ניתנת לייצוג כהרכבה של העתקות ליניאריות (ביחס לנקודה כלשהי במרחב) עם פעולת הזזה. להעתקות מסוג זה חשיבות רבה משום שהן יכולות לייצג מגוון רחב יותר של פעולות מאשר העתקות ליניאריות.

באופן כללי, כל העתקה אפינית $f:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}$ כאשר $\mathbb {A} ^{n}$ ו-$\mathbb {A} ^{m}$ הם המרחבים האפיניים ה-$n$ ו-$m$ ממדיים מעל שדה $F$ בהתאמה, ניתנת לייצוג כ:

$f(x):=Mx+b$

כאשר $M\in F^{m\times n}$ ו-$b\in F^{n}$ הן מטריצה ווקטור עמודה בהתאמה. את $x\in \mathbb {A} ^{n}$ בהגדרה לעיל מייצגים כווקטור עמודה בקואורדינטות אפיניות על-פי מערכת אפינית כלשהי $(p_{0},{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n})$. אם מסמנים:

$x:={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},y:=f(x)={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}$

בקואורדינטות אפיניות, מתקבל כמובן ש-$y=Mx+b$. אם משתמשים בשיכון מרחב אפיני סופי למרחב פרויקטיבי כפי שהוצג לעיל, ניתן לסמן:

${\tilde {x}}:={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\1\end{pmatrix}},{\tilde {y}}:=f(x)={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\\1\end{pmatrix}}$

מתקבל אפוא ש-${\tilde {x}}$ ו-${\tilde {y}}$ הן הקואורדינטות ההומגניות של $x$ ו-$y$ בהתאמה במרחבים הפרויקטיביים $F\mathbb {P} ^{n}$ ו-$F\mathbb {P} ^{m}$ בהתאמה.

אם מגדירים מטריצת בלוקים:

${\tilde {M}}:={\begin{pmatrix}M&b\\0&1\end{pmatrix}}\in F^{(m+1)\times (n+1)}$

מתקבל ש-${\tilde {y}}={\tilde {M}}{\tilde {x}}$. כלומר, בקואורדינטות הומוגניות ניתן לתאר כל העתקה אפינית כהעתקה ליניארית. יכולת זו רבת משמעות בגרפיקה ממוחשבת, למידת מכונה ורובוטיקה.

יריעות פרויקטיביות

ערך מורחב – יריעה אלגברית פרויקטיבית

בהינתן שדה כלשהו $F$, זוג מספרים טבעיים $n,d\in \mathbb {N}$ ופולינום $f\in F[x_{1},\dots ,x_{n}]$, $f$ יקרא פולינום הומוגני מדרגה $d$ אם ורק אם לכל $\lambda ,x_{1},\dots ,x_{n}\in F$ מתקיים ש:

$f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}f(x_{1},\dots ,x_{n})$. נהוג לסמן ב-$F_{H}^{d}[x_{1},\dots ,x_{n}]$ את אוסף כל הפולינומים ההומוגניים מדרגה $d$ ב-$n$ משתנים. ניתן להוכיח כי זהו מרחב וקטורי מעל $F$.

כעת, שמים לב שבמקרה ש-$f(x_{1},\dots ,x_{n})=0$ בהכרח גם $f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=0$. משמעות הדבר הוא שאם נתונה נקודה כלשהי בקואורדינטות הומוגניות $[x_{1}:\dots :x_{n}]$, אם הפולינום מתאפס עבורה, הוא מתאפס לכל הנציגים שלה. כלומר, התאפסות הפולינום בנקודה לא תלויה בנציג.

עבור קבוצה $S\subseteq F_{H}^{d}[x_{1},\dots ,x_{n}]$ מסמנים:

${\mathcal {V}}(S):=\left\{x\in F\mathbb {P} ^{n-1}\mid \forall f\in S,f(x)=0\right\}$

כלומר, ${\mathcal {V}}(S)$ היא קבוצת כל הנקודות במרחב הפרויקטיבי שמתאפסות עבור כל פולינום ב-$S$. קבוצות מהצורה ${\mathcal {V}}(S)$ נקראות יריעות אלגבריות פרויקטיביות והן שימושיות במיוחד בגאומטריה אלגברית בכלל ובגאומטריה פרויקטיבית בפרט.

דואליות

במרחב הפרויקטיבי ישנה דואליות בין נקודות לעל-מישורים.

בהינתן מרחב פרויקטיבי מממד סופי $F\mathbb {P} ^{n}$, כל על-מישור ניתן לייצוג על-ידי משוואה מהצורה $a_{1}x_{1}+\dots +a_{n+1}x_{n+1}=0$, כאשר $a_{1},\dots ,a_{n+1}\in F$ הם קבועים ו-$[x_{1}:\dots :x_{n+1}]$ היא נקודה על המישור בקואורדינטות הומוגניות.

ניתן לשים לב שבהינתן $0\neq \lambda \in F$ כלשהו, המשוואה לעיל זהה למשוואה $\lambda a_{1}x_{1}+\dots +\lambda a_{n+1}x_{n+1}=0$. לכן, ניתן להשתמש במקדמים של העל-מישור כקואורדינטות הומוגניות בעבור אותו על-מישור. כלומר, הקואורדינטות ההומוגניות של העל-מישור הנ"ל הן $[a_{1}:\dots :a_{n+1}]$. כך, ניתן לייצג כל על-מישור במרחב בקואורדינטות הומוגניות.

תכונה זו מסתמכת על תכונת הדואליות של מרחבים פרויקטיביים. הקואורדינטות ההומוגניות של העל-מישורים במרחב הן למעשה הקואורדינטות ההומוגניות של העל-מישור במרחב הדואלי הפרויקטיבי.

דוגמה

כאמור, במישור הפרויקטיבי $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{2}$ הנקודות במרחב מיוצגות ב-$[x:y:z]$.

ראשית הצירים היא הנקודה $[0:0:1]$, אך למעשה גם הקואורדינטות $[0:0:8]$, $[0:0:-7]$ ו-$[0:0:1.234]$ כולן מייצגות את אותה ראשית הצירים.

כל הנקודות על ציר ה-$x$ (בקרבת הראשית) יהיו הנקודות מהצורה $[\lambda x:0:\lambda ]$ כאשר $\lambda \neq 0$ ו-$x$ מקבל כל ערך. באופן דומה, כל הנקודות על ציר ה-$y$ יהיו נקודות מהצורה $[0:\lambda y:\lambda ]$.

אם משתמשים בקואורדינטות אפיניות, כל ישר ניתן לייצוג על-ידי משוואה מהצורה $y=ax+b$. על ידי הזזת אגפים מקבלים את המשוואה $ax-y+b=0$. נקודות בקואורדינטות הומוגניות מייוצגות ב-$[x:y:z]$. על-מנת להגיע לקואורדינטות האפיניות יש לחלק את כל הקואורדינטות ב-$z$ כדי לנרמל את הקואורדינטה האחרונה ל-1. על-כן, מניחים לרגע ש-$z\neq 0$. מקבלים שהנקודה בקואורדינטות אפיניות היא $\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)$. מציבים במשוואת הישר ומקבלים ש-$a{\frac {x}{z}}-{\frac {y}{z}}+b=0$, כלומר $ax-y+bz=0$. אם נרשה לעצמנו כעת להניח ש-$z=0$ (למרות שמקודם הנחנו שזה לא המצב), נקבל את המשוואה $ax-y=0$. המשמעות היא שהנקודה $[1:a:0]$ בקואורדינטות אף היא נקודה על הישר הנידון, ולמעשה זוהי הנקודה באינסוף. זוהי בעצם נקודת החיתוך של הישר $y=ax+b$ עם הישר ה"מקביל" לו $y=ax$.

באופן כללי, כל הישרים במישור הפרויקטיבי ניתנים לייצוג בתור משוואה מהצורה $ax+by+cz=0$ כאשר $a,b,c$ הם קבועים ו-$[x:y:z]$ הן קואורדינטות הומוגניות של נקודות על הישר.

ראו גם

• מרחב פרויקטיבי
• גאומטריה פרויקטיבית
• מרחב אפיני
• מערכת חילה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קואורדינטות הומוגניות בוויקישיתוף

• קואורדינטות הומוגניות, באתר MathWorld (באנגלית)