קבוצה כמעט פתוחה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובפרט בטופולוגיה, קבוצה כמעט פתוחה (נקראת גם קבוצה עם תכונת בייר) היא קבוצה אשר ניתנת לייצוג כהפרש סימטרי בין קבוצה פתוחה לקבוצה מקטגוריה ראשונה. כלומר, קבוצה כמעט פתוחה היא קבוצה פתוחה עד כדי החסרת או הוספת מספר בן מניה של קבוצות דלילות.

קבוצות מסוג זה נחקרו לראשונה בראשית המאה ה-20 על-ידי המתמטיקאי הצרפתי רנה-לואי בייר.

מונחים בסיסיים

עבור מרחב טופולוגי $X$ עם טופולוגיה ${\mathcal {T}}$ הקבוצה $N\subseteq X$ תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם הפנים של הסגור שלה ריק. כלומר, $\operatorname {Int} (\operatorname {Cl} (N))=\emptyset$.

קבוצה $A\subseteq X$ תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא מהווה איחוד בן מניה של קבוצות דלילות.

הגדרה מתמטית

בהינתן מרחב טופולוגי $X$ עם הטופולוגיה ${\mathcal {T}}$ וקבוצה $A\subseteq X$, הקבוצה $A$ תקרא קבוצה כמעט פתוחה אם ורק אם היא מקיימת את אחד התנאים השקולים הבאים:

1. קיימת קבוצה פתוחה $U$ וקבוצה מקטגוריה ראשונה $B$ כך ש-$A=U\Delta B$
2. קיימת קבוצה פתוחה $U$ כך ש-$U\Delta A$ היא קבוצה מקטגוריה ראשונה.
3. קיימת קבוצה סגורה $C$ וקבוצה מקטגוריה ראשונה $B$ כך ש-$A=C\Delta B$
4. קיימת קבוצה סגורה $C$ כך ש-$C\Delta A$ היא קבוצה מקטגוריה ראשונה.
5. קיימת קבוצה $G$ מסוג $G_{\delta }$ (חיתוך בן מניה של קבוצות פתוחות) וקבוצה פתוחה $U$ כך ש-$A=G\cup U$.
6. קיימת קבוצה מקטגוריה ראשונה $B$ כך ש-$A\cup B$ היא קבוצה מסוג $F_{\delta }$ (איחוד בן מניה של קבוצות סגורות).

סיגמא-אלגברה של קבוצות כמעט פתוחות

משקילות ההגדרות של קבוצה כמעט פתוחה ניתן להסיק כי:

1. המשלים של קבוצה כמעט פתוחה הוא קבוצה כמעט פתוחה.
2. איחוד בן מניה של קבוצות כמעט פתוחות הוא קבוצה כמעט פתוחה.

כלומר, כל הקבוצות הכמעט פתוחות מהוות סיגמא-אלגברה. מכיוון שכל קבוצה פתוחה היא קבוצה כמעט פתוחה, סיגמא-אלגברת הקבוצות הכמעט פתוחות מכילה את סיגמא-אלגברת בורל. לבסוף, מכיוון שסיגמא-אלגברת בורל היא הסיגמא-אלגברה המינימלית המכילה את הקבוצות הפתוחות, משמעות הדבר היא שכל קבוצה בסיגמא-אלגברת בורל היא קבוצה כמעט פתוחה, ובפרט:

1. כל קבוצה פתוחה
2. כל קבוצה סגורה
3. כל קבוצה דלילה
4. כל קבוצה מקטגוריה ראשונה
5. כל קבוצה מסוג $G_{\delta }$
6. כל קבוצה מסוג $F_{\delta }$

דוגמאות

תחת הטופולוגיה הסטנדרטית במרחב המספרים הממשיים $\mathbb {R}$, הקבוצות הבאות כמעט פתוחות:

• הקבוצה הריקה.
• כל יחידון.
• קבוצת קנטור.
• קבוצת המספרים השלמים $\mathbb {Z}$.
• קבוצת המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$.
• מרחב המספרים הממשיים $\mathbb {R}$ כולו.
• קבוצת כל המספרים האי-רציונליים בין 0 ל-1: $A=\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<1,x\notin \mathbb {Q} \}$

דוגמאות נגדיות

ניתן לייצר דוגמה נגדית לקבוצה כמעט פתוחה תחת מרחב המספרים הממשיים על-ידי שימוש באקסיומת הבחירה. דוגמה לקבוצה שאיננה קבוצה כמעט פתוחה היא קבוצת ויטלי.

ראו גם

• קבוצה פתוחה
• קבוצה דלילה
• קבוצה מקטגוריה ראשונה
• קבוצת בורל