קבוע הופכיי מספרי פיבונאצ'י

במתמטיקה, מספר פיבונאצ'י ההופכי, המסומן באות ψ, הוא הסכום של כל המספרים ההופכיים של מספרי פיבונאצ'י:

$\psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .$

על פי תנאי ההתכנסות של קושי, הטור מתכנס למספר. המספר הוא בערך:

$\psi =3.359885666243177553172011302918927179688905133732\dots .$

ביל גוספר מצא אלגוריתם לקירוב מהיר של המספר אשר מספקת $O(k^{2})$ ספרות (משום שסדרת פיבונאצ'י מביא $O(k)$ ערכים עבור k ערכים). המספר הוא אי רציונלי. עובדה זו הושערה על ידי פאול ארדש ורונלד גראהם והוכחה בשנת 1989 על ידי ריצ'רד אנדרה-ג'ננין. השבר משולב של המספר הוא:

$\psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ]\!\,.$

למספר קשור ליחס הזהב וניתן להגדיר את מספר פיבונאצ'י ההופכי על פי הטור הבא:

$\psi ={\sqrt {5}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{(\phi )}^{n}-{(-\phi )}^{-n}}}$

כאשר $\ \phi$זה יחס הזהב.

קישורים חיצוניים

• קבוע הופכיי מספרי פיבונאצ'י, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת הספרות העשרוניות של קבוע הופכיי מספרי פיבונאצ'י באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
• סדרת המספרים בהצגת קבוע הופכיי מספרי פיבונאצ'י כשבר משולב באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים