צורה גאומטרית

צורות תלת-ממדיות: 1 - כדור; 2 - פירמידה; 3 - קובייה; 4 - טורוס; 5 - גליל חלול; 6 - גליל; 7 - חרוט; 8 - קשר;

צורה גאומטרית (או צורה הנדסית) הוא שם כללי לקבוצות של נקודות במישור או במרחב התלת-ממדי (במקרה הזה נהוג גם השם גוף גאומטרי או גוף הנדסי). בדרך כלל המונח מתייחס לקבוצה קשירה שהיא סגורה וחסומה.

ניתן להגדיר צורות גאומטריות דו-ממדיות רבות על ידי קבוצה של נקודות או קודקודים וקווים המחברים את הנקודות בשרשרת סגורה, כמו גם הנקודות הפנימיות המתקבלות. צורות כאלה נקראות מצולעים וכוללות משולשים, ריבועים ומחומשים. צורות אחרות עשויות להיות חסומות על ידי עקומות כגון עיגול או אליפסה.

ניתן להגדיר צורות גאומטריות תלת־ממדיות רבות על ידי קבוצה של קודקודים, קווים המחברים את הקודקודים ופאות דו־ממדיות המוקפות בקווים אלה, כמו גם הנקודות הפנימיות המתקבלות. צורות כאלה נקראות פאונים וכוללות קוביות וכן פירמידות כמו טטרהדרונים. צורות תלת־ממדיות אחרות עשויות להיות חסומות על ידי משטחים מעוקלים, כגון האליפסואיד והכדור.

צורה גאומטרית היא קמורה אם כל הנקודות בקטע קו בין כל שתי נקודות שלה הן גם חלק מהצורה.

ממד

לצורות גאומטריות פשוטות יש ממד. להלן דוגמאות נפוצות לצורות, בהתאם לממד שלהן:

צורות חד-ממדיות: קטעים, עקומות (כגון ציקלואידה ופרבולה).
צורות דו-ממדיות: עיגולים, אליפסות, מצולעים.
צורות תלת-ממדיות: כדורים, פאונים, חרוטים.
צורות מממד גבוה יותר: טסרקט הוא הכללה למרחב ארבע-ממדי של הקובייה המוכרת בגאומטריה של המרחב התלת-ממדי.

פרקטלים הם צורות גאומטריות מורכבות, בעלות תכונות הנראות חריגות למי שמורגל בצורות הפשוטות. כך, למשל, הממד של פרקטל אינו תמיד מספר שלם, והוא קרוי ממד האוסדורף. הממד של פתית השלג של קוך, פרקטל המשוכן במרחב דו-ממדי, הוא 1.262 בקירוב.

גודל

מאפיין נוסף של צורה גאומטרית הוא הגודל שלה. לצורה חד-ממדית מאפיין זה הוא אורך הצורה. בצורה דו-ממדית נתעניין בהיקף הצורה ובשטחה. בצורה תלת-ממדית נתעניין בשטח הפנים של הצורה ובנפחה.

בנייה

בגאומטריה הקלאסית בנייה של צורה גאומטרית נעשית באמצעות סרגל ומחוגה בלבד. מגבלה זו מאפשרת בנייה רק של חלק מהצורות. בנייה של מעגל או ריבוע נעשית בקלות רבה. מצולע משוכלל ניתן לבנות אם ורק אם כל הגורמים הראשוניים האי-זוגיים של מספר הצלעות הם מספרי פרמה שונים.^[1] לורנצו מסקרוני הוכיח, בספר שפרסם בשנת 1797, שכל צורה שניתן לבנות בסרגל ומחוגה ניתן לבנות גם על ידי מחוגות בלבד.^[2] קוואדרטריקס הוא דוגמה לעקום שאי אפשר לבנות באמצעות סרגל ומחוגה בלבד.

שקילות בין צורות

בגאומטריה אין מתעניינים בתכונות של צורה המשתנות לאחר שמזיזים, מסובבים או משקפים אותה (כפי שעושה מראה). שתי צורות שניתן להגיע מן האחת לשנייה על ידי שימוש בפעולות אלו (מבחינה פורמלית, יש איזומטריה המעתיקה את האחת על השנייה) נקראות חופפות, ונחשבות מבחינה גאומטרית כצורות זהות. פורמלית, ניתן להגדיר צורה כמחלקת שקילות של יחס החפיפה על תת-קבוצות במרחב.

יחס חזק פחות מיחס החפיפה הוא יחס הדמיון. שתי צורות הן דומות אם ניתן לכווץ או לנפח צורה אחת כך שתהיה חופפת לצורה השנייה. בהקשרים מסוימים צורות דומות נחשבות זהות.

שתי שקילויות חשובות נוספות שניתן להגדיר על צורות מגיעות מתחום הטופולוגיה. תחום זה אינו מתעניין בתכונות של צורות שמשתנות לאחר עיוותים רציפים. שקילויות אלו הן ההומיאומורפיות (החזקה יותר) וההומוטופיות (החלשה יותר). מבחינה טופולוגית כדור וקובייה נחשבים זהים, אבל הם שונים למשל מן הטורוס.