פרדוקס הספר

פרדוקס הַסַּפָּר הוא פרדוקס מפורסם, המיוחס לפילוסוף הבריטי ברטראנד ראסל. לגרסתו הפורמלית של הפרדוקס, שקרויה הפרדוקס של ראסל, נודעה השפעה רבה על חקר יסודות תורת הקבוצות.

• בעיירה גר ספר, המספר את כל התושבים שאינם מספרים את עצמם, ורק אותם. האם הספר מספר את עצמו?
  • אם הספר מספר את עצמו, יש סתירה. שהרי הוא מספר רק את אלה שאינם מספרים את עצמם, ולכן לא אותו.
  • אם הספר אינו מספר את עצמו, אזי הוא נמנה עם התושבים שאינם מספרים את עצמם, ולכן הוא מספר את עצמו. שוב סתירה.

הפרדוקס מביא אותנו למסקנה שהספר לא קיים: הנחות היסוד של הפרדוקס שגויות, ומכאן נובעת הסתירה. פרדוקס הספר הוא ניסוח פופולרי לאנטינומיה (סתירה פנימית) שאפשרית בהגדרת הקבוצה בתורת הקבוצות הנאיבית. לפי ההגדרה הנאיבית של מושג הקבוצה, קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן כאיבר היא קבוצה קיימת. הגדרה זו מובילה לסתירה כיוון שהקבוצה הזו לא יכולה להכיל את עצמה, וכן גם לא יכולה שלא להכיל את עצמה. כדי להימנע מסתירות כאלו, פיתחו ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל בתחילת המאה העשרים מערכת של אקסיומות שמתארות באופן ריגורוזי את מושג הקבוצה, וכך נמנעות מסתירות פנימיות. מערכת זו היא הבסיס לתורת הקבוצות האקסיומטית.

לקריאה נוספת

• מריוס כהן, "פרדוקס ראסל", גליליאו 105, מאי 2007.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פרדוקס הספר בוויקישיתוף

• פרדוקס הספר, באתר MathWorld (באנגלית)