פונקציית פיזור ריילי

בפיזיקה, פונקציית פיזור ריילי, הקרויה על שם הלורד ריילי, היא פונקציה המשמשת במכניקה אנליטית בטיפול בכוחות חיכוך פרופורציונליים למהירות. המשוואה הוצגה לראשונה בשנת 1873. אם נתון כוח חיכוך על חלקיק עם מהירות ${\vec {v}}$ ניתן לכתוב כ ${\vec {F}}_{f}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {v}}$, ניתן להגדיר את פונקציית פיזור של ריילי עבור מערכת של $N$ חלקיקים:

$R(v)={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}(k_{x}v_{i,x}^{2}+k_{y}v_{i,y}^{2}+k_{z}v_{i,z}^{2}).$

כאשר, $R(v)$ מייצג את מחצית מקצב איבוד האנרגיה של המערכת דרך חיכוך. כוח החיכוך הוא שלילי למהירות, ${\vec {F}}_{f}=-\nabla _{v}R(v)$, אנלוגי לכוח השווה לגרדיאנט השלילי של הפוטנציאל. קשר זה מיוצג במונחים של הקואורדינטות המוכללות: $q_{i}=\left\{q_{1},q_{2},\ldots q_{n}\right\}$.

${\vec {F}}_{f}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$ .

בזמן שחיכוך הוא אינו כוח משמר, הוא מסומן כ- $Q_{i}$ במשוואות לגראנז',

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i}$ .

יישום ערכו של כוח החיכוך המתואר על ידי קואורדינטות מוכללות במשוואות אוילר-לגראנג' ייתן:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$ .

ריילי ניסח את הלגראנז'יאן $L$ כאנרגיה קינטית $T$ מינוס האנרגיה הפוטנציאלית $V$, אשר מניב את השוויון הבא

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=0$ .

מאז שנות ה-70 פונקציית הפיזור ידועה יותר בתור פוטנציאל הפיזור של ריילי.