פונקציית האן

פונקציית האן (באנגלית: Hann function; נקראת גם מסנן האן, חלון האן או חלון פון האן) נקראת על שם המטאורולוג האוסטרי יוליוס פון האן (אנ'). זוהי פונקציית חלון המשמשת לביצוע החלקת האן. הפונקציה, בעלת אורך $L$ ומשרעת $1/L$ , מוגדרת כך:

פונקציית האן

$w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{2L}}\left(1+\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}$

עבור עיבוד אותות ספרתי, הפונקציה נדגמת באופן סימטרי (עם מרווח דגימה של $L/N$ ומשרעת $1$ ):

w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(n-N/2)\right)={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)

כאשר $0\leq n\leq N$ . זוהי סדרה של $N+1$ דגימות. $N$ יכול להיות זוגי או אי זוגי.

התמרת פורייה

התמרת פורייה של $w_{0}(x)$ ניתנת על ידי:

W_{0}(f)={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi Lf(1-L^{2}f^{2})}}

שם

הפונקציה נקראת על שם יוליוס פון האן, שהשתמש בטכניקת ההחלקה הממוצעת המשוקללת של שלושה איברים על נתונים מטאורולוגיים. עם זאת, המונח פונקציית האנינג (Hanning) המשמש גם באופן קונבנציונלי, נגזר מהמאמר שבו השתמשו בביטוי Hanning a sign במשמעות של החלת חלון האן על סימן (sign). הבלבול נבע מפונקציית המינג הדומה (ראו להלן).

משפחת פונקציות המינג המוכללת

משפחת פונקציות המינג המוכללת (או משפחת חלונות המינג המוכללת; באנגלית: Generalized Hamming window family) היא משפחה של פונקציות חלון מסוג קוסינוס מוגבה (raised cosine) המהווה הכללה של פונקציית האן, והיא מוגדרת כך:^[1]

w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}\left(\alpha +(1-\alpha )\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\left(\alpha +2\beta \cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right),\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}

כאשר $\beta \equiv {\frac {1-\alpha }{2}}$

פונקציית האן מתקבלת עבור $\alpha =0.5$ ‏( $\beta =1/4$ ).

פונקציית המינג

פונקציית המינג (או חלון המינג) היא מקרה פרטי של משפחת פונקציות המינג המוכללת, המתקבלת עבור $\alpha =0.54$ ^[2]‏ ( $\beta =0.23$ ). פונקציית המינג קרויה על שם המתמטיקאי האמריקאי ריצ'רד המינג.